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Theorem lssats 29202
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 22941 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssats  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, S    x, U
Allowed substitution hint:    W( x)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( y  =  ( 0g `  W )  ->  (
y  e.  ( N `
 U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  <->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) ) )
2 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  U  e.  S )
4 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  U )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 15695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
83, 4, 7syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 6, 9lspsncl 15734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
112, 8, 10syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
126, 9lspid 15739 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  ( N `  {
y } ) )  =  ( N `  { y } ) )
132, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  =  ( N `
 { y } ) )
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
156, 14lsatlss 29186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A  C_  S )
17 rabss2 3256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  { x  e.  S  |  x  C_  U } )
18 uniss 3848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  { x  e.  S  |  x  C_  U }  ->  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_ 
U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  U. { x  e.  S  |  x  C_  U }
)
20 unimax 3861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  =  U )
215, 6lssss 15694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
2220, 21eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2322adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2419, 23sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2524ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
26 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 29182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( N `  { y } )  e.  A )
292, 8, 26, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  A
)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 15753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  U
)
31 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( N `  { y } )  ->  ( x  C_  U 
<->  ( N `  {
y } )  C_  U ) )
3231elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U }  <->  ( ( N `  { y } )  e.  A  /\  ( N `  {
y } )  C_  U ) )
3329, 30, 32sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
34 elssuni 3855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U }  ->  ( N `  { y } )  C_  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
365, 9lspss 15741 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  ( N `  { y } ) 
C_  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
372, 25, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
3813, 37eqsstr3d 3213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
395, 9lspsnid 15750 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
402, 8, 39syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
4138, 40sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
42 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  W  e.  LMod )
435, 6, 9lspcl 15733 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )
4424, 43syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )
4544adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S
)
4627, 6lss0cl 15704 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
4742, 45, 46syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
481, 41, 47pm2.61ne 2521 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  y  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
4948ex 423 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
y  e.  U  -> 
y  e.  ( N `
 U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) ) )
5049ssrdv 3185 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
51 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  LMod )
525, 9lspss 15741 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U } )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
)  C_  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } ) )
5351, 23, 19, 52syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  C_  ( N `  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U } ) )
5420adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  =  U )
5554fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )  =  ( N `  U
) )
566, 9lspid 15739 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U )  =  U )
5755, 56eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )  =  U )
5853, 57sseqtrd 3214 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  C_  U )
5950, 58eqssd 3196 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LSAtomsclsa 29164
This theorem is referenced by:  lpssat  29203  lssatle  29205  lssat  29206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lsatoms 29166
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