MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Unicode version

Theorem lssats2 15757
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssats2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssats2  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    W( x)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
2 lssats2.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
32adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
4 lssats2.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
5 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 15695 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
84, 7sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats2.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 9lspsnid 15750 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
113, 8, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
12 sneq 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1312fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  { x } )  =  ( N `  { y } ) )
1413eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  <->  y  e.  ( N `  { y } ) ) )
1514rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U  /\  y  e.  ( N `  { y } ) )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
161, 11, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
1716ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
182adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
194adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  S )
20 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
216, 9, 18, 19, 20lspsnel5a 15753 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
2221sseld 3179 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  ->  y  e.  U ) )
2322rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } )  ->  y  e.  U ) )
2417, 23impbid 183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
25 eliun 3909 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } )  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
2624, 25syl6bbr 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) ) )
2726eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {csn 3640   U_ciun 3905   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator