MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Unicode version

Theorem lssats2 15773
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssats2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssats2  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    W( x)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
2 lssats2.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
32adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
4 lssats2.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
5 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 15711 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
84, 7sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats2.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 9lspsnid 15766 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
113, 8, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
12 sneq 3664 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1312fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  { x } )  =  ( N `  { y } ) )
1413eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  <->  y  e.  ( N `  { y } ) ) )
1514rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U  /\  y  e.  ( N `  { y } ) )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
161, 11, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
1716ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
182adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
194adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  S )
20 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
216, 9, 18, 19, 20lspsnel5a 15769 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
2221sseld 3192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  ->  y  e.  U ) )
2322rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } )  ->  y  e.  U ) )
2417, 23impbid 183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
25 eliun 3925 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } )  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
2624, 25syl6bbr 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) ) )
2726eqrdv 2294 1  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {csn 3653   U_ciun 3921   ` cfv 5271   Basecbs 13164   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745
  Copyright terms: Public domain W3C validator