MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssats2 Structured version   Unicode version

Theorem lssats2 16078
Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssats2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lssats2  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    W( x)

Proof of Theorem lssats2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
2 lssats2.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
32adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
4 lssats2.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
5 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 16016 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
84, 7sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats2.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 9lspsnid 16071 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
113, 8, 10syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
12 sneq 3827 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1312fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  { x } )  =  ( N `  { y } ) )
1413eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  <->  y  e.  ( N `  { y } ) ) )
1514rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U  /\  y  e.  ( N `  { y } ) )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
161, 11, 15syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
1716ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  ->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
182adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
194adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  S )
20 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
216, 9, 18, 19, 20lspsnel5a 16074 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
2221sseld 3349 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
y  e.  ( N `
 { x }
)  ->  y  e.  U ) )
2322rexlimdva 2832 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } )  ->  y  e.  U ) )
2417, 23impbid 185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) ) )
25 eliun 4099 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } )  <->  E. x  e.  U  y  e.  ( N `  { x } ) )
2624, 25syl6bbr 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  <->  y  e.  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) ) )
2726eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  U  =  U_ x  e.  U  ( N `  { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {csn 3816   U_ciun 4095   ` cfv 5456   Basecbs 13471   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050
  Copyright terms: Public domain W3C validator