MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssbn Structured version   Unicode version

Theorem lssbn 19306
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssbn.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lssbn.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssbn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
lssbn  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. Ban  <->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )

Proof of Theorem lssbn
StepHypRef Expression
1 bnnvc 19295 . . . 4  |-  ( W  e. Ban  ->  W  e. NrmVec )
2 lssbn.x . . . . 5  |-  X  =  ( Ws  U )
3 lssbn.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssnvc 18739 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmVec )
51, 4sylan 459 . . 3  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmVec )
6 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
72, 6resssca 13606 . . . . 5  |-  ( U  e.  S  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  X ) )
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  X ) )
96bnsca 19294 . . . . 5  |-  ( W  e. Ban  ->  (Scalar `  W )  e. CMetSp )
109adantr 453 . . . 4  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  W )  e. CMetSp )
118, 10eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  X )  e. CMetSp )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Scalar `  X )  =  (Scalar `  X )
1312isbn 19293 . . . . 5  |-  ( X  e. Ban 
<->  ( X  e. NrmVec  /\  X  e. CMetSp  /\  (Scalar `  X
)  e. CMetSp ) )
14 3anan32 949 . . . . 5  |-  ( ( X  e. NrmVec  /\  X  e. CMetSp  /\  (Scalar `  X )  e. CMetSp )  <->  ( ( X  e. NrmVec  /\  (Scalar `  X
)  e. CMetSp )  /\  X  e. CMetSp ) )
1513, 14bitri 242 . . . 4  |-  ( X  e. Ban 
<->  ( ( X  e. NrmVec  /\  (Scalar `  X )  e. CMetSp )  /\  X  e. CMetSp
) )
1615baib 873 . . 3  |-  ( ( X  e. NrmVec  /\  (Scalar `  X )  e. CMetSp )  ->  ( X  e. Ban  <->  X  e. CMetSp ) )
175, 11, 16syl2anc 644 . 2  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. Ban  <->  X  e. CMetSp ) )
18 bncms 19299 . . 3  |-  ( W  e. Ban  ->  W  e. CMetSp )
19 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2019, 3lssss 16015 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
21 lssbn.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
222, 19, 21cmsss 19305 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  U  C_  ( Base `  W )
)  ->  ( X  e. CMetSp  <-> 
U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2318, 20, 22syl2an 465 . 2  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. CMetSp  <->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
2417, 23bitrd 246 1  |-  ( ( W  e. Ban  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. Ban  <->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472  Scalarcsca 13534   TopOpenctopn 13651   LSubSpclss 16010   Clsdccld 17082  NrmVeccnvc 18631  CMetSpccms 19287  Bancbn 19288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-icc 10925  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ds 13553  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lvec 16177  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-haus 17381  df-fil 17880  df-flim 17973  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nlm 18636  df-nvc 18637  df-cfil 19210  df-cmet 19212  df-cms 19290  df-bn 19291
  Copyright terms: Public domain W3C validator