Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsslindf Structured version   Unicode version

Theorem lsslindf 27258
 Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u
lsslindf.x s
Assertion
Ref Expression
lsslindf LIndF LIndF

Proof of Theorem lsslindf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 27236 . . . 4 LIndF
21brrelexi 4910 . . 3 LIndF
32a1i 11 . 2 LIndF
41brrelexi 4910 . . 3 LIndF
54a1i 11 . 2 LIndF
6 simpr 448 . . . . . . . 8
7 lsslindf.x . . . . . . . . 9 s
8 eqid 2435 . . . . . . . . 9
97, 8ressbasss 13513 . . . . . . . 8
10 fss 5591 . . . . . . . 8
116, 9, 10sylancl 644 . . . . . . 7
12 ffn 5583 . . . . . . . . 9
1312adantl 453 . . . . . . . 8
14 simp3 959 . . . . . . . . . 10
15 lsslindf.u . . . . . . . . . . . . 13
168, 15lssss 16005 . . . . . . . . . . . 12
17163ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11
187, 8ressbas2 13512 . . . . . . . . . . 11
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10
2014, 19sseqtrd 3376 . . . . . . . . 9
2120adantr 452 . . . . . . . 8
22 df-f 5450 . . . . . . . 8
2313, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . . 7
2411, 23impbida 806 . . . . . 6
2524adantr 452 . . . . 5
26 simpl2 961 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
287, 27resssca 13596 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
2928eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3130fveq2d 5724 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3230fveq2d 5724 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3332sneqd 3819 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3431, 33difeq12d 3458 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
367, 35ressvsca 13597 . . . . . . . . . . . 12
3736eqcomd 2440 . . . . . . . . . . 11
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . 10
3938oveqd 6090 . . . . . . . . 9
40 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11
41 imassrn 5208 . . . . . . . . . . . 12
42 simpl3 962 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42syl5ss 3351 . . . . . . . . . . 11
44 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
45 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
467, 44, 45, 15lsslsp 16083 . . . . . . . . . . 11
4740, 26, 43, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
4847eqcomd 2440 . . . . . . . . 9
4939, 48eleq12d 2503 . . . . . . . 8
5049notbid 286 . . . . . . 7
5134, 50raleqbidv 2908 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar
5251ralbidv 2717 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar
5325, 52anbi12d 692 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
54 ovex 6098 . . . . . . 7 s
557, 54eqeltri 2505 . . . . . 6
5655a1i 11 . . . . 5
57 eqid 2435 . . . . . 6
58 eqid 2435 . . . . . 6
59 eqid 2435 . . . . . 6 Scalar Scalar
60 eqid 2435 . . . . . 6 Scalar Scalar
61 eqid 2435 . . . . . 6 Scalar Scalar
6257, 58, 45, 59, 60, 61islindf 27240 . . . . 5 LIndF Scalar Scalar
6356, 62sylan 458 . . . 4 LIndF Scalar Scalar
64 eqid 2435 . . . . . 6 Scalar Scalar
65 eqid 2435 . . . . . 6 Scalar Scalar
668, 35, 44, 27, 64, 65islindf 27240 . . . . 5 LIndF Scalar Scalar
67663ad2antl1 1119 . . . 4 LIndF Scalar Scalar
6853, 63, 673bitr4d 277 . . 3 LIndF LIndF
6968ex 424 . 2 LIndF LIndF
703, 5, 69pm5.21ndd 344 1 LIndF LIndF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715  clmod 15942  clss 16000  clspn 16039   LIndF clindf 27232 This theorem is referenced by:  lsslinds  27259 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lindf 27234
 Copyright terms: Public domain W3C validator