Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsslinds Structured version   Unicode version

Theorem lsslinds 27280
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
lsslindf.x  |-  X  =  ( Ws  S )
Assertion
Ref Expression
lsslinds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  F  e.  (LIndS `  W ) ) )

Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lsslindf.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 16015 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
4 lsslindf.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Ws  S )
54, 1ressbas2 13522 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( Base `  W
)  ->  S  =  ( Base `  X )
)
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U  ->  S  =  ( Base `  X
) )
763ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  S  =  ( Base `  X
) )
87sseq2d 3378 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  S  <->  F  C_  ( Base `  X ) ) )
933ad2ant2 980 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
10 sstr2 3357 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  S  ->  ( S  C_  ( Base `  W
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
119, 10mpan9 457 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  /\  F  C_  S )  ->  F  C_  ( Base `  W
) )
12 simpl3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  /\  F  C_  ( Base `  W
) )  ->  F  C_  S )
1311, 12impbida 807 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  S  <->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
148, 13bitr3d 248 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  C_  ( Base `  X
)  <->  F  C_  ( Base `  W ) ) )
15 rnresi 5221 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  F )  =  F
1615sseq1i 3374 . . . 4  |-  ( ran  (  _I  |`  F ) 
C_  S  <->  F  C_  S
)
172, 4lsslindf 27279 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  ran  (  _I  |`  F )  C_  S )  ->  (
(  _I  |`  F ) LIndF 
X  <->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) )
1816, 17syl3an3br 1226 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  (
(  _I  |`  F ) LIndF 
X  <->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) )
1914, 18anbi12d 693 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  (
( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X )  <->  ( F  C_  ( Base `  W
)  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W ) ) )
20 ovex 6108 . . . 4  |-  ( Ws  S )  e.  _V
214, 20eqeltri 2508 . . 3  |-  X  e. 
_V
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
2322islinds 27258 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  ( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X ) ) )
2421, 23mp1i 12 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  ( F  C_  ( Base `  X )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
X ) ) )
251islinds 27258 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
26253ad2ant1 979 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
2719, 24, 263bitr4d 278 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  U  /\  F  C_  S )  ->  ( F  e.  (LIndS `  X
)  <->  F  e.  (LIndS `  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    _I cid 4495   ran crn 4881    |` cres 4882   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LIndF clindf 27253  LIndSclinds 27254
This theorem is referenced by:  islinds3  27283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lindf 27255  df-linds 27256
  Copyright terms: Public domain W3C validator