Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Unicode version

Theorem lsslsp 16032
 Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) TODO: Shouldn't we swap and since we are computing a property of ? (Like we say sin 0 = 0 and not 0 = sin 0.) - NM 15-Mar-2015.
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x s
lsslsp.m
lsslsp.n
lsslsp.l
Assertion
Ref Expression
lsslsp

Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3
2 lsslsp.x . . . . . . . 8 s
3 lsslsp.l . . . . . . . 8
42, 3lsslmod 15977 . . . . . . 7
543adant3 977 . . . . . 6
6 simp3 959 . . . . . . 7
7 eqid 2401 . . . . . . . . . 10
87, 3lssss 15954 . . . . . . . . 9
983ad2ant2 979 . . . . . . . 8
102, 7ressbas2 13461 . . . . . . . 8
119, 10syl 16 . . . . . . 7
126, 11sseqtrd 3341 . . . . . 6
13 eqid 2401 . . . . . . 7
14 eqid 2401 . . . . . . 7
15 lsslsp.n . . . . . . 7
1613, 14, 15lspcl 15993 . . . . . 6
175, 12, 16syl2anc 643 . . . . 5
182, 3, 14lsslss 15978 . . . . . 6
19183adant3 977 . . . . 5
2017, 19mpbid 202 . . . 4
2120simpld 446 . . 3
2213, 15lspssid 16002 . . . 4
235, 12, 22syl2anc 643 . . 3
24 lsslsp.m . . . 4
253, 24lspssp 16005 . . 3
261, 21, 23, 25syl3anc 1184 . 2
276, 9sstrd 3315 . . . . 5
287, 3, 24lspcl 15993 . . . . 5
291, 27, 28syl2anc 643 . . . 4
303, 24lspssp 16005 . . . 4
312, 3, 14lsslss 15978 . . . . 5
32313adant3 977 . . . 4
3329, 30, 32mpbir2and 889 . . 3
347, 24lspssid 16002 . . . 4
351, 27, 34syl2anc 643 . . 3
3614, 15lspssp 16005 . . 3
375, 33, 35, 36syl3anc 1184 . 2
3826, 37eqssd 3322 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wss 3277  cfv 5408  (class class class)co 6034  cbs 13410   ↾s cress 13411  clmod 15891  clss 15949  clspn 15988 This theorem is referenced by:  lss0v  16033  islssfg  26998  lsslindf  27130  islinds3  27134  lcdlsp  32044 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-rep 4275  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-cnex 8993  ax-resscn 8994  ax-1cn 8995  ax-icn 8996  ax-addcl 8997  ax-addrcl 8998  ax-mulcl 8999  ax-mulrcl 9000  ax-mulcom 9001  ax-addass 9002  ax-mulass 9003  ax-distr 9004  ax-i2m1 9005  ax-1ne0 9006  ax-1rid 9007  ax-rnegex 9008  ax-rrecex 9009  ax-cnre 9010  ax-pre-lttri 9011  ax-pre-lttrn 9012  ax-pre-ltadd 9013  ax-pre-mulgt0 9014 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-nel 2567  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-int 4007  df-iun 4051  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-er 6855  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-pnf 9069  df-mnf 9070  df-xr 9071  df-ltxr 9072  df-le 9073  df-sub 9239  df-neg 9240  df-nn 9947  df-2 10004  df-3 10005  df-4 10006  df-5 10007  df-6 10008  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13415  df-sets 13416  df-ress 13417  df-plusg 13483  df-sca 13486  df-vsca 13487  df-0g 13668  df-mnd 14631  df-grp 14753  df-minusg 14754  df-sbg 14755  df-subg 14882  df-mgp 15590  df-rng 15604  df-ur 15606  df-lmod 15893  df-lss 15950  df-lsp 15989
 Copyright terms: Public domain W3C validator