MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnvc Structured version   Unicode version

Theorem lssnvc 18742
Description: A subspace of a normed vector space is a normed vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lssnlm.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssnvc  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmVec )

Proof of Theorem lssnvc
StepHypRef Expression
1 nvcnlm 18736 . . 3  |-  ( W  e. NrmVec  ->  W  e. NrmMod )
2 lssnlm.x . . . 4  |-  X  =  ( Ws  U )
3 lssnlm.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssnlm 18741 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmMod )
51, 4sylan 459 . 2  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmMod )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
72, 6resssca 13609 . . . 4  |-  ( U  e.  S  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  X ) )
87adantl 454 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  X ) )
9 nvclvec 18737 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmVec  ->  W  e.  LVec )
106lvecdrng 16182 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
1211adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
138, 12eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  X )  e.  DivRing )
14 eqid 2438 . . 3  |-  (Scalar `  X )  =  (Scalar `  X )
1514isnvc2 18739 . 2  |-  ( X  e. NrmVec 
<->  ( X  e. NrmMod  /\  (Scalar `  X )  e.  DivRing ) )
165, 13, 15sylanbrc 647 1  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾s cress 13475  Scalarcsca 13537   DivRingcdr 15840   LSubSpclss 16013   LVecclvec 16179  NrmModcnlm 18633  NrmVeccnvc 18634
This theorem is referenced by:  lssbn  19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ds 13556  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lvec 16180  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-xms 18355  df-ms 18356  df-nm 18635  df-ngp 18636  df-nlm 18639  df-nvc 18640
  Copyright terms: Public domain W3C validator