MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnvc Unicode version

Theorem lssnvc 18212
Description: A subspace of a normed vector space is a normed vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x  |-  X  =  ( Ws  U )
lssnlm.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssnvc  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmVec )

Proof of Theorem lssnvc
StepHypRef Expression
1 nvcnlm 18206 . . 3  |-  ( W  e. NrmVec  ->  W  e. NrmMod )
2 lssnlm.x . . . 4  |-  X  =  ( Ws  U )
3 lssnlm.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssnlm 18211 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmMod )
51, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmMod )
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
72, 6resssca 13283 . . . 4  |-  ( U  e.  S  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  X ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  X ) )
9 nvclvec 18207 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmVec  ->  W  e.  LVec )
106lvecdrng 15858 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( W  e. NrmVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
138, 12eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  (Scalar `  X )  e.  DivRing )
14 eqid 2283 . . 3  |-  (Scalar `  X )  =  (Scalar `  X )
1514isnvc2 18209 . 2  |-  ( X  e. NrmVec 
<->  ( X  e. NrmMod  /\  (Scalar `  X )  e.  DivRing ) )
165, 13, 15sylanbrc 645 1  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  U  e.  S )  ->  X  e. NrmVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾s cress 13149  Scalarcsca 13211   DivRingcdr 15512   LSubSpclss 15689   LVecclvec 15855  NrmModcnlm 18103  NrmVeccnvc 18104
This theorem is referenced by:  lssbn  18773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lvec 15856  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-nvc 18110
  Copyright terms: Public domain W3C validator