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Theorem lsspropd 16095
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsspropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lsspropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lsspropd.w  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
lsspropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lsspropd.s1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
lsspropd.s2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
lsspropd.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
lsspropd.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
Assertion
Ref Expression
lsspropd  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  K )  =  ( LSubSp `  L
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, W, y    x, L, y    x, P, y

Proof of Theorem lsspropd
Dummy variables  a 
b  z  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  ph )
2 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
z  e.  P )
3 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
s  C_  B )
4 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
a  e.  s )
53, 4sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
a  e.  B )
6 lsspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
76ralrimivva 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
87ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
9 proplem2 13916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  W )  ->  (
z ( .s `  K ) a )  e.  W )
102, 5, 8, 9syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  e.  W )
11 lsspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  B  C_  W )
13 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  s )
143, 13sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  B )
1512, 14sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  W )
16 lsspropd.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
1716proplem 13917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
z ( .s `  K ) a )  e.  W  /\  b  e.  W ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
181, 10, 15, 17syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
19 lsspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
2019proplem 13917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  P  /\  a  e.  B ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  =  ( z ( .s `  L
) a ) )
211, 2, 5, 20syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  =  ( z ( .s `  L
) a ) )
2221oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  L ) b )  =  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
2318, 22eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
2423eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <-> 
( ( z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) )
2524anassrs 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  z  e.  P )  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) )  ->  (
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
26252ralbidva 2747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
2726ralbidva 2723 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  C_  B )  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
2827anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  C_  B )  ->  (
( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
2928pm5.32da 624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) ) )
30 3anass 941 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) ) )
31 3anass 941 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
3229, 30, 313bitr4g 281 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
33 lsspropd.b1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
3433sseq2d 3378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  C_  B  <->  s 
C_  ( Base `  K
) ) )
35 lsspropd.p1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
3635raleqdv 2912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) )
3734, 363anbi13d 1257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  K
)  /\  s  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  K
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) ) )
38 lsspropd.b2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3938sseq2d 3378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  C_  B  <->  s 
C_  ( Base `  L
) ) )
40 lsspropd.p2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
4140raleqdv 2912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
4239, 413anbi13d 1257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  L
)  /\  s  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  L
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
4332, 37, 423bitr3d 276 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  ( Base `  K )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  L )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
44 eqid 2438 . . . 4  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
45 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  K )
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
)
46 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
47 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
48 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
49 eqid 2438 . . . 4  |-  ( LSubSp `  K )  =  (
LSubSp `  K )
5044, 45, 46, 47, 48, 49islss 16013 . . 3  |-  ( s  e.  ( LSubSp `  K
)  <->  ( s  C_  ( Base `  K )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) )
51 eqid 2438 . . . 4  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
52 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  L )
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
)
53 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
54 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
55 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
56 eqid 2438 . . . 4  |-  ( LSubSp `  L )  =  (
LSubSp `  L )
5751, 52, 53, 54, 55, 56islss 16013 . . 3  |-  ( s  e.  ( LSubSp `  L
)  <->  ( s  C_  ( Base `  L )  /\  s  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) )
5843, 50, 573bitr4g 281 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
LSubSp `  K )  <->  s  e.  ( LSubSp `  L )
) )
5958eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  K )  =  ( LSubSp `  L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   LSubSpclss 16010
This theorem is referenced by:  lsppropd  16096  lidlrsppropd  16303  ply1lss  16596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-lss 16011
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