Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssn0 Structured version   Unicode version

Theorem lsssn0 16024
 Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss0cl.z
lss0cl.s
Assertion
Ref Expression
lsssn0

Proof of Theorem lsssn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2437 . 2 Scalar Scalar
2 eqidd 2437 . 2 Scalar Scalar
3 eqidd 2437 . 2
4 eqidd 2437 . 2
5 eqidd 2437 . 2
6 lss0cl.s . . 3
76a1i 11 . 2
8 eqid 2436 . . . 4
9 lss0cl.z . . . 4
108, 9lmod0vcl 15979 . . 3
1110snssd 3943 . 2
12 fvex 5742 . . . . 5
139, 12eqeltri 2506 . . . 4
1413snnz 3922 . . 3
1514a1i 11 . 2
16 simpr2 964 . . . . . . . 8 Scalar
17 elsni 3838 . . . . . . . 8
1816, 17syl 16 . . . . . . 7 Scalar
1918oveq2d 6097 . . . . . 6 Scalar
20 eqid 2436 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
21 eqid 2436 . . . . . . . 8
22 eqid 2436 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2320, 21, 22, 9lmodvs0 15984 . . . . . . 7 Scalar
24233ad2antr1 1122 . . . . . 6 Scalar
2519, 24eqtrd 2468 . . . . 5 Scalar
26 simpr3 965 . . . . . 6 Scalar
27 elsni 3838 . . . . . 6
2826, 27syl 16 . . . . 5 Scalar
2925, 28oveq12d 6099 . . . 4 Scalar
30 eqid 2436 . . . . . . 7
318, 30, 9lmod0vlid 15980 . . . . . 6
3210, 31mpdan 650 . . . . 5
3332adantr 452 . . . 4 Scalar
3429, 33eqtrd 2468 . . 3 Scalar
35 ovex 6106 . . . 4
3635elsnc 3837 . . 3
3734, 36sylibr 204 . 2 Scalar
381, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 15, 37islssd 16012 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956  c0 3628  csn 3814  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  clmod 15950  clss 16008 This theorem is referenced by:  lspsn0  16084  lsp0  16085  lmhmkerlss  16127  lidl0  16290  lsatcv0  29829  lsatcveq0  29830  lsat0cv  29831  lsatcv0eq  29845  dochsat  32181  mapd0  32463  mapdcnvatN  32464  mapdat  32465  mapdn0  32467  hdmapeq0  32645 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-lmod 15952  df-lss 16009
 Copyright terms: Public domain W3C validator