MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssss Unicode version

Theorem lssss 15976
Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssss  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )

Proof of Theorem lssss
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2412 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3 lssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2412 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5 eqid 2412 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6 lssss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 15974 . 2  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x ( .s
`  W ) a ) ( +g  `  W
) b )  e.  U ) )
87simp1bi 972 1  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492  Scalarcsca 13495   .scvsca 13496   LSubSpclss 15971
This theorem is referenced by:  lssel  15977  lssuni  15979  00lss  15981  lsssubg  15996  islss3  15998  lsslss  16000  lssintcl  16003  lssmre  16005  lssacs  16006  lspid  16021  lspssv  16022  lspssp  16027  lsslsp  16054  lmhmima  16086  reslmhm  16091  lsmsp  16121  pj1lmhm  16135  lsppratlem2  16183  lsppratlem3  16184  lsppratlem4  16185  lspprat  16188  lbsextlem3  16195  lidlss  16243  ocvin  16864  pjdm2  16901  pjff  16902  pjf2  16904  pjfo  16905  pjcss  16906  lssbn  19265  minveclem1  19286  minveclem2  19288  minveclem3a  19289  minveclem3b  19290  minveclem3  19291  minveclem4a  19292  minveclem4b  19293  minveclem4  19294  minveclem6  19296  minveclem7  19297  pjthlem1  19299  pjthlem2  19300  pjth  19301  islssfg  27044  islssfg2  27045  lnmlsslnm  27055  kercvrlsm  27057  lnmepi  27059  filnm  27068  frlmgsum  27108  frlmsplit2  27119  lsslindf  27176  lsslinds  27177  islshpsm  29475  lshpnelb  29479  lshpnel2N  29480  lshpcmp  29483  lsatssv  29493  lssats  29507  lpssat  29508  lssatle  29510  lssat  29511  islshpcv  29548  lkrssv  29591  lkrlsp  29597  dvhopellsm  31612  dvadiaN  31623  dihss  31746  dihrnss  31773  dochord2N  31866  dochord3  31867  dihoml4  31872  dochsat  31878  dochshpncl  31879  dochnoncon  31886  djhlsmcl  31909  dihjat1lem  31923  dochsatshp  31946  dochsatshpb  31947  dochshpsat  31949  dochexmidlem2  31956  dochexmidlem5  31959  dochexmidlem6  31960  dochexmidlem7  31961  dochexmidlem8  31962  lclkrlem2p  32017  lclkrlem2v  32023  lcfrlem5  32041  lcfr  32080  mapdpglem17N  32183  mapdpglem18  32184  mapdpglem21  32187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-lss 15972
  Copyright terms: Public domain W3C validator