MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssss Unicode version

Theorem lssss 15793
Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssss  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )

Proof of Theorem lssss
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2358 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3 lssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2358 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5 eqid 2358 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6 lssss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 15791 . 2  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x ( .s
`  W ) a ) ( +g  `  W
) b )  e.  U ) )
87simp1bi 970 1  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   LSubSpclss 15788
This theorem is referenced by:  lssel  15794  lssuni  15796  00lss  15798  lsssubg  15813  islss3  15815  lsslss  15817  lssintcl  15820  lssmre  15822  lssacs  15823  lspid  15838  lspssv  15839  lspssp  15844  lsslsp  15871  lmhmima  15903  reslmhm  15908  lsmsp  15938  pj1lmhm  15952  lsppratlem2  16000  lsppratlem3  16001  lsppratlem4  16002  lspprat  16005  lbsextlem3  16012  lidlss  16060  ocvin  16680  pjdm2  16717  pjff  16718  pjf2  16720  pjfo  16721  pjcss  16722  lssbn  18877  minveclem1  18892  minveclem2  18894  minveclem3a  18895  minveclem3b  18896  minveclem3  18897  minveclem4a  18898  minveclem4b  18899  minveclem4  18900  minveclem6  18902  minveclem7  18903  pjthlem1  18905  pjthlem2  18906  pjth  18907  islssfg  26491  islssfg2  26492  lnmlsslnm  26502  kercvrlsm  26504  lnmepi  26506  filnm  26515  frlmgsum  26555  frlmsplit2  26566  lsslindf  26623  lsslinds  26624  islshpsm  29239  lshpnelb  29243  lshpnel2N  29244  lshpcmp  29247  lsatssv  29257  lssats  29271  lpssat  29272  lssatle  29274  lssat  29275  islshpcv  29312  lkrssv  29355  lkrlsp  29361  dvhopellsm  31376  dvadiaN  31387  dihss  31510  dihrnss  31537  dochord2N  31630  dochord3  31631  dihoml4  31636  dochsat  31642  dochshpncl  31643  dochnoncon  31650  djhlsmcl  31673  dihjat1lem  31687  dochsatshp  31710  dochsatshpb  31711  dochshpsat  31713  dochexmidlem2  31720  dochexmidlem5  31723  dochexmidlem6  31724  dochexmidlem7  31725  dochexmidlem8  31726  lclkrlem2p  31781  lclkrlem2v  31787  lcfrlem5  31805  lcfr  31844  mapdpglem17N  31947  mapdpglem18  31948  mapdpglem21  31951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-ov 5948  df-lss 15789
  Copyright terms: Public domain W3C validator