MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssss Unicode version

Theorem lssss 15694
Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssss  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )

Proof of Theorem lssss
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3 lssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6 lssss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 15692 . 2  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x ( .s
`  W ) a ) ( +g  `  W
) b )  e.  U ) )
87simp1bi 970 1  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   LSubSpclss 15689
This theorem is referenced by:  lssel  15695  lssuni  15697  00lss  15699  lsssubg  15714  islss3  15716  lsslss  15718  lssintcl  15721  lssmre  15723  lssacs  15724  lspid  15739  lspssv  15740  lspssp  15745  lsslsp  15772  lmhmima  15804  reslmhm  15809  lsmsp  15839  pj1lmhm  15853  lsppratlem2  15901  lsppratlem3  15902  lsppratlem4  15903  lspprat  15906  lbsextlem3  15913  lidlss  15961  ocvin  16574  pjdm2  16611  pjff  16612  pjf2  16614  pjfo  16615  pjcss  16616  lssbn  18773  minveclem1  18788  minveclem2  18790  minveclem3a  18791  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  minveclem4a  18794  minveclem4b  18795  minveclem4  18796  minveclem6  18798  minveclem7  18799  pjthlem1  18801  pjthlem2  18802  pjth  18803  islssfg  27168  islssfg2  27169  lnmlsslnm  27179  kercvrlsm  27181  lnmepi  27183  filnm  27192  frlmgsum  27232  frlmsplit2  27243  lsslindf  27300  lsslinds  27301  islshpsm  29170  lshpnelb  29174  lshpnel2N  29175  lshpcmp  29178  lsatssv  29188  lssats  29202  lpssat  29203  lssatle  29205  lssat  29206  islshpcv  29243  lkrssv  29286  lkrlsp  29292  dvhopellsm  31307  dvadiaN  31318  dihss  31441  dihrnss  31468  dochord2N  31561  dochord3  31562  dihoml4  31567  dochsat  31573  dochshpncl  31574  dochnoncon  31581  djhlsmcl  31604  dihjat1lem  31618  dochsatshp  31641  dochsatshpb  31642  dochshpsat  31644  dochexmidlem2  31651  dochexmidlem5  31654  dochexmidlem6  31655  dochexmidlem7  31656  dochexmidlem8  31657  lclkrlem2p  31712  lclkrlem2v  31718  lcfrlem5  31736  lcfr  31775  mapdpglem17N  31878  mapdpglem18  31879  mapdpglem21  31882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-lss 15690
  Copyright terms: Public domain W3C validator