MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssssr Structured version   Unicode version

Theorem lssssr 16030
Description: Conclude subspace ordering from nonzero vector membership. (ssrdv 3355 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssssr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssssr.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lssssr.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssssr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssssr.t  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
lssssr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lssssr.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  U )
)
Assertion
Ref Expression
lssssr  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
Distinct variable groups:    x, T    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    V( x)    W( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem lssssr
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  x  =  .0.  )
2 lssssr.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 lssssr.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
4 lssssr.o . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lssssr.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lss0cl 16024 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  .0.  e.  U )
72, 3, 6syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  U )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  .0.  e.  U )
91, 8eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  x  e.  U )
109a1d 24 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  .0.  )  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
11 lssssr.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
1211sseld 3348 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  V ) )
1312ancrd 539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  V  /\  x  e.  T
) ) )
1413adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( x  e.  T  ->  (
x  e.  V  /\  x  e.  T )
) )
15 eldifsn 3928 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )
16 lssssr.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  U )
)
1715, 16sylan2br 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
1817exp32 590 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( x  =/=  .0.  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) ) ) )
1918com23 75 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  =/=  .0.  ->  ( x  e.  V  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) ) ) )
2019imp4b 575 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( x  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  U ) )
2114, 20syld 43 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
2210, 21pm2.61dane 2683 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  U ) )
2322ssrdv 3355 1  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    \ cdif 3318    C_ wss 3321   {csn 3815   ` cfv 5455   Basecbs 13470   0gc0g 13724   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  32227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-lss 16010
  Copyright terms: Public domain W3C validator