MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssssubg Structured version   Unicode version

Theorem lsssssubg 16035
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsssssubg  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )

Proof of Theorem lsssssubg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsssubg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 16034 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  (SubGrp `  W )
)
32ex 425 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  (SubGrp `  W )
) )
43ssrdv 3355 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   ` cfv 5455  SubGrpcsubg 14939   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009
This theorem is referenced by:  lsmsp  16159  lspprabs  16168  pj1lmhm  16173  pj1lmhm2  16174  lspindpi  16205  lvecindp  16211  lsmcv  16214  pjdm2  16939  pjf2  16942  pjfo  16943  ocvpj  16945  pjthlem2  19340  lshpnel  29782  lshpnelb  29783  lsmsat  29807  lrelat  29813  lsmcv2  29828  lcvexchlem1  29833  lcvexchlem2  29834  lcvexchlem3  29835  lcvexchlem4  29836  lcvexchlem5  29837  lcv1  29840  lcv2  29841  lsatexch  29842  lsatcv0eq  29846  lsatcvatlem  29848  lsatcvat  29849  lsatcvat3  29851  l1cvat  29854  lkrlsp  29901  lshpsmreu  29908  lshpkrlem5  29913  dia2dimlem5  31867  dia2dimlem9  31871  dvhopellsm  31916  diblsmopel  31970  cdlemn5pre  31999  cdlemn11c  32008  dihjustlem  32015  dihord1  32017  dihord2a  32018  dihord2b  32019  dihord11c  32023  dihord6apre  32055  dihord5b  32058  dihord5apre  32061  dihjatc3  32112  dihmeetlem9N  32114  dihjatcclem1  32217  dihjatcclem2  32218  dihjat  32222  dvh3dim3N  32248  dochexmidlem2  32260  dochexmidlem6  32264  dochexmidlem7  32265  lclkrlem2b  32307  lclkrlem2f  32311  lclkrlem2v  32327  lclkrslem2  32337  lcfrlem23  32364  lcfrlem25  32366  lcfrlem35  32376  mapdlsm  32463  mapdpglem3  32474  mapdindp0  32518  lspindp5  32569  hdmaprnlem3eN  32660  hdmapglem7a  32729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-lss 16010
  Copyright terms: Public domain W3C validator