MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssubg Unicode version

Theorem lsssubg 15813
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsssubg  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)

Proof of Theorem lsssubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lsssubg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 15793 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
52lssn0 15797 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  =/=  (/) )
65adantl 452 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =/=  (/) )
7 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
87, 2lssvacl 15810 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( x ( +g  `  W ) y )  e.  U )
98anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  x  e.  U )  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U )
109ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  A. y  e.  U  ( x
( +g  `  W ) y )  e.  U
)
11 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
122, 11lssvnegcl 15812 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  x  e.  U )  ->  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U )
13123expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( ( inv g `  W ) `
 x )  e.  U )
1410, 13jca 518 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( A. y  e.  U  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U  /\  ( ( inv g `  W
) `  x )  e.  U ) )
1514ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U  /\  ( ( inv g `  W
) `  x )  e.  U ) )
16 lmodgrp 15733 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
1716adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  Grp )
181, 7, 11issubg2 14735 . . 3  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  <->  ( U  C_  ( Base `  W )  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  ( x ( +g  `  W ) y )  e.  U  /\  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U ) ) ) )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  <->  ( U  C_  ( Base `  W )  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  ( x ( +g  `  W ) y )  e.  U  /\  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U ) ) ) )
204, 6, 15, 19mpbir3and 1135 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   Grpcgrp 14461   inv gcminusg 14462  SubGrpcsubg 14714   LModclmod 15726   LSubSpclss 15788
This theorem is referenced by:  lsssssubg  15814  islss3  15815  islss4  15818  lspsnsubg  15836  lmhmima  15903  lmhmpreima  15904  reslmhm  15908  reslmhm2  15909  reslmhm2b  15910  lsmcl  15935  lsmelval2  15937  lssnlm  18313  pwssplit4  26514  frlm0  26545  frlmgsum  26555  frlmsslsp  26571  islshpat  29276  lsatcv1  29307  dia2dimlem13  31335  dihvalcqat  31498  dihmeetlem16N  31581  dihmeetlem19N  31584  dochsat  31642  dihjat1lem  31687  dihjat1  31688  dvh3dimatN  31698  dvh2dimatN  31699  dochkrsm  31717  dochexmid  31727  mapdh6dN  31998  hdmap1l6d  32073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-lmod 15728  df-lss 15789
  Copyright terms: Public domain W3C validator