MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssubg Unicode version

Theorem lsssubg 15714
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsssubg  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)

Proof of Theorem lsssubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lsssubg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 15694 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
52lssn0 15698 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  =/=  (/) )
65adantl 452 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =/=  (/) )
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
87, 2lssvacl 15711 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( x ( +g  `  W ) y )  e.  U )
98anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  x  e.  U )  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U )
109ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  A. y  e.  U  ( x
( +g  `  W ) y )  e.  U
)
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
122, 11lssvnegcl 15713 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  x  e.  U )  ->  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U )
13123expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( ( inv g `  W ) `
 x )  e.  U )
1410, 13jca 518 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( A. y  e.  U  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U  /\  ( ( inv g `  W
) `  x )  e.  U ) )
1514ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U  /\  ( ( inv g `  W
) `  x )  e.  U ) )
16 lmodgrp 15634 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
1716adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  Grp )
181, 7, 11issubg2 14636 . . 3  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  <->  ( U  C_  ( Base `  W )  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  ( x ( +g  `  W ) y )  e.  U  /\  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U ) ) ) )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  <->  ( U  C_  ( Base `  W )  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  ( x ( +g  `  W ) y )  e.  U  /\  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U ) ) ) )
204, 6, 15, 19mpbir3and 1135 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689
This theorem is referenced by:  lsssssubg  15715  islss3  15716  islss4  15719  lspsnsubg  15737  lmhmima  15804  lmhmpreima  15805  reslmhm  15809  reslmhm2  15810  reslmhm2b  15811  lsmcl  15836  lsmelval2  15838  lssnlm  18211  pwssplit4  27191  frlm0  27222  frlmgsum  27232  frlmsslsp  27248  islshpat  29207  lsatcv1  29238  dia2dimlem13  31266  dihvalcqat  31429  dihmeetlem16N  31512  dihmeetlem19N  31515  dochsat  31573  dihjat1lem  31618  dihjat1  31619  dvh3dimatN  31629  dvh2dimatN  31630  dochkrsm  31648  dochexmid  31658  mapdh6dN  31929  hdmap1l6d  32004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690
  Copyright terms: Public domain W3C validator