MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssubg Unicode version

Theorem lsssubg 15992
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lsssubg  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)

Proof of Theorem lsssubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lsssubg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 15972 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
43adantl 453 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
52lssn0 15976 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  U  =/=  (/) )
65adantl 453 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =/=  (/) )
7 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
87, 2lssvacl 15989 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( x ( +g  `  W ) y )  e.  U )
98anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  x  e.  U )  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U )
109ralrimiva 2753 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  A. y  e.  U  ( x
( +g  `  W ) y )  e.  U
)
11 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
122, 11lssvnegcl 15991 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  x  e.  U )  ->  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U )
13123expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( ( inv g `  W ) `
 x )  e.  U )
1410, 13jca 519 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  x  e.  U
)  ->  ( A. y  e.  U  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U  /\  ( ( inv g `  W
) `  x )  e.  U ) )
1514ralrimiva 2753 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  (
x ( +g  `  W
) y )  e.  U  /\  ( ( inv g `  W
) `  x )  e.  U ) )
16 lmodgrp 15916 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  Grp )
181, 7, 11issubg2 14918 . . 3  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  <->  ( U  C_  ( Base `  W )  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  ( x ( +g  `  W ) y )  e.  U  /\  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U ) ) ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  <->  ( U  C_  ( Base `  W )  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  U  ( A. y  e.  U  ( x ( +g  `  W ) y )  e.  U  /\  (
( inv g `  W ) `  x
)  e.  U ) ) ) )
204, 6, 15, 19mpbir3and 1137 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   Grpcgrp 14644   inv gcminusg 14645  SubGrpcsubg 14897   LModclmod 15909   LSubSpclss 15967
This theorem is referenced by:  lsssssubg  15993  islss3  15994  islss4  15997  lspsnsubg  16015  lmhmima  16082  lmhmpreima  16083  reslmhm  16087  reslmhm2  16088  reslmhm2b  16089  lsmcl  16114  lsmelval2  16116  lssnlm  18693  pwssplit4  27063  frlm0  27094  frlmgsum  27104  frlmsslsp  27120  islshpat  29504  lsatcv1  29535  dia2dimlem13  31563  dihvalcqat  31726  dihmeetlem16N  31809  dihmeetlem19N  31812  dochsat  31870  dihjat1lem  31915  dihjat1  31916  dvh3dimatN  31926  dvh2dimatN  31927  dochkrsm  31945  dochexmid  31955  mapdh6dN  32226  hdmap1l6d  32301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-lmod 15911  df-lss 15968
  Copyright terms: Public domain W3C validator