MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvacl Unicode version

Theorem lssvacl 15921
Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssvacl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvacl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvacl
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lssvacl.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssel 15905 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
54ad2ant2lr 728 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
6 eqid 2366 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
7 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
92, 6, 7, 8lmodvs1 15868 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
101, 5, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X )  =  X )
1110oveq1d 5996 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  Y
) )
12 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
13 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
146, 13, 8lmod1cl 15867 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1514ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
16 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  U )
17 simprr 733 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
18 lssvacl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
196, 13, 18, 7, 3lsscl 15910 . . 3  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
)  e.  U )
2012, 15, 16, 17, 19syl13anc 1185 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  Y )  e.  U )
2111, 20eqeltrrd 2441 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   1rcur 15549   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899
This theorem is referenced by:  lsssubg  15924  lspprvacl  15966  lspvadd  16059  lidlacl  16175  minveclem2  19005  pjthlem2  19017  lshpkrlem5  29375  lcfrlem6  31808  lcfrlem19  31822  mapdpglem9  31941  mapdpglem14  31946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-lmod 15839  df-lss 15900
  Copyright terms: Public domain W3C validator