MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Unicode version

Theorem lssvsubcl 15701
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lssvsubcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lssvsubcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssel 15695 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
54ad2ant2lr 728 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
62, 3lssel 15695 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
76ad2ant2l 726 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
9 lssvsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 eqid 2283 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
13 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 15680 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
151, 5, 7, 14syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1610lmodfgrp 15636 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
171, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1910, 18, 13lmod1cl 15657 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
201, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2118, 12grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2217, 20, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
232, 10, 11, 18lmodvscl 15644 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )
241, 22, 7, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  ( Base `  W
) )
252, 8lmodcom 15671 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
261, 5, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
27 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
28 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
29 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  U )
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 15700 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  U  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  e.  U )
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  U
)
3226, 31eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  U )
3315, 32eqeltrd 2357 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365   1rcur 15339   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689
This theorem is referenced by:  lssvancl1  15702  lss0cl  15704  lsmcv  15894  lspsolv  15896  ldualssvsubcl  29349  lclkrlem2o  31711  mapdpglem6  31868  mapdpglem12  31873  hdmaprnlem7N  32048  hdmaprnlem8N  32049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690
  Copyright terms: Public domain W3C validator