MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lssvsubcl 16012
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lssvsubcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lssvsubcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssel 16006 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
54ad2ant2lr 729 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
62, 3lssel 16006 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
76ad2ant2l 727 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
8 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
9 lssvsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 eqid 2435 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2435 . . . 4  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
13 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 15991 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
151, 5, 7, 14syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1610lmodfgrp 15951 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
18 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1910, 18, 13lmod1cl 15969 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
201, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2118, 12grpinvcl 14842 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2217, 20, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
232, 10, 11, 18lmodvscl 15959 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )
241, 22, 7, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  ( Base `  W
) )
252, 8lmodcom 15982 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
261, 5, 24, 25syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
27 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
28 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
29 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  U )
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 16011 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  U  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  e.  U )
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  U
)
3226, 31eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  U )
3315, 32eqeltrd 2509 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678   -gcsg 14680   1rcur 15654   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000
This theorem is referenced by:  lssvancl1  16013  lss0cl  16015  lsmcv  16205  lspsolv  16207  ldualssvsubcl  29894  lclkrlem2o  32256  mapdpglem6  32413  mapdpglem12  32418  hdmaprnlem7N  32593  hdmaprnlem8N  32594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001
  Copyright terms: Public domain W3C validator