MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Unicode version

Theorem lssvsubcl 15717
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lssvsubcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lssvsubcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssel 15711 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
54ad2ant2lr 728 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
62, 3lssel 15711 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
76ad2ant2l 726 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
9 lssvsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2296 . . . 4  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
13 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 15696 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
151, 5, 7, 14syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1610lmodfgrp 15652 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
171, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
18 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1910, 18, 13lmod1cl 15673 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
201, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2118, 12grpinvcl 14543 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2217, 20, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
232, 10, 11, 18lmodvscl 15660 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )
241, 22, 7, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  ( Base `  W
) )
252, 8lmodcom 15687 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
261, 5, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
27 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
28 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
29 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  U )
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 15716 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  U  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  e.  U )
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  U
)
3226, 31eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  U )
3315, 32eqeltrd 2370 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381   1rcur 15355   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705
This theorem is referenced by:  lssvancl1  15718  lss0cl  15720  lsmcv  15910  lspsolv  15912  ldualssvsubcl  29971  lclkrlem2o  32333  mapdpglem6  32490  mapdpglem12  32495  hdmaprnlem7N  32670  hdmaprnlem8N  32671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706
  Copyright terms: Public domain W3C validator