MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d Unicode version

Theorem lt0ne0d 9524
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
2 0re 9024 . . . . 5  |-  0  e.  RR
32ltnri 9115 . . . 4  |-  -.  0  <  0
4 breq1 4156 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <  0  <->  0  <  0 ) )
53, 4mtbiri 295 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  <  0 )
65necon2ai 2595 . 2  |-  ( A  <  0  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   0cc0 8923    < clt 9053
This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  19406  coseq00topi  20277  argimlt0  20375  atantan  20630  bcm1n  23987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058
  Copyright terms: Public domain W3C validator