Theorem ltadd2 5590

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Proof shortened by Paul Chapman, 27-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd2	|- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Proof of Theorem ltadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		lt.2	. . 3 |- B e. RR
3		lt.3	. . 3 |- C e. RR
4		axltadd 5505	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (C + A) < (C + B)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 916	. 2 |- (A < B -> (C + A) < (C + B))
6		axltadd 5505	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR) -> (B < A -> (C + B) < (C + A)))
7	2, 1, 3, 6	mp3an 916	. . . . . 6 |- (B < A -> (C + B) < (C + A))
8		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (B = A -> (C + B) = (C + A))
9	7, 8	orim12i 336	. . . . 5 |- ((B < A \/ B = A) -> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
10	2, 1	leloe 5575	. . . . 5 |- (B <_ A <-> (B < A \/ B = A))
11	3, 2	readdcl 5334	. . . . . 6 |- (C + B) e. RR
12	3, 1	readdcl 5334	. . . . . 6 |- (C + A) e. RR
13	11, 12	leloe 5575	. . . . 5 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
14	9, 10, 13	3imtr4 219	. . . 4 |- (B <_ A -> (C + B) <_ (C + A))
15	2, 1	lenlt 5578	. . . 4 |- (B <_ A <-> -. A < B)
16	11, 12	lenlt 5578	. . . 4 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> -. (C + A) < (C + B))
17	14, 15, 16	3imtr3 218	. . 3 |- (-. A < B -> -. (C + A) < (C + B))
18	17	a3i 74	. 2 |- ((C + A) < (C + B) -> A < B)
19	5, 18	impbi 157	1 |- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233   + caddc 5237   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  ltadd1 5591  lt2add 5596  addgt0 5598  nneo 6197  sqrlem1 6673  sqrlem10 6682  sqrlem15 6687  sqrlem16 6688  ruclem1 7510  ruclem25 7534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-plus 5245  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain