MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddpos Unicode version

Theorem ltaddpos 9309
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 8883 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltadd2 8969 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
0  <  A  <->  ( B  +  0 )  < 
( B  +  A
) ) )
31, 2mp3an1 1264 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  ( B  +  0 )  <  ( B  +  A ) ) )
4 recn 8872 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54addid1d 9057 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
76breq1d 4070 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  + 
0 )  <  ( B  +  A )  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
83, 7bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  B  <  ( B  +  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782    + caddc 8785    < clt 8912
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  9310  ltsubpos  9311  posdif  9312  ltaddposi  9367  ltaddposd  9401  ltp1  9639  recreclt  9700  ltaddrp  10433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917
  Copyright terms: Public domain W3C validator