Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddpr Structured version   Unicode version

 Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. Proposition 9-3.5(iii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 8866 . . . . 5
2 n0 3637 . . . . 5
31, 2sylib 189 . . . 4
5 addclpr 8895 . . . . . . . . . . . 12
65adantr 452 . . . . . . . . . . 11
7 df-plp 8860 . . . . . . . . . . . . 13
8 addclnq 8822 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8genpprecl 8878 . . . . . . . . . . . 12
109imp 419 . . . . . . . . . . 11
11 elprnq 8868 . . . . . . . . . . . . 13
12 addnqf 8825 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312fdmi 5596 . . . . . . . . . . . . . 14
14 0nnq 8801 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14ndmovrcl 6233 . . . . . . . . . . . . 13
16 ltaddnq 8851 . . . . . . . . . . . . 13
1711, 15, 163syl 19 . . . . . . . . . . . 12
18 prcdnq 8870 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11
206, 10, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
2120exp32 589 . . . . . . . . 9
2221com23 74 . . . . . . . 8
2322alrimdv 1643 . . . . . . 7
24 dfss2 3337 . . . . . . 7
2523, 24syl6ibr 219 . . . . . 6
26 vex 2959 . . . . . . . . 9
2726prlem934 8910 . . . . . . . 8
2827adantr 452 . . . . . . 7
29 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13
3029biimprcd 217 . . . . . . . . . . . 12
3130con3d 127 . . . . . . . . . . 11
329, 31syl6 31 . . . . . . . . . 10
3332exp3a 426 . . . . . . . . 9
3433com34 79 . . . . . . . 8
3534rexlimdv 2829 . . . . . . 7
3628, 35mpd 15 . . . . . 6
3725, 36jcad 520 . . . . 5
38 dfpss2 3432 . . . . 5
3937, 38syl6ibr 219 . . . 4
4039exlimdv 1646 . . 3
414, 40mpd 15 . 2
42 ltprord 8907 . . 3
435, 42syldan 457 . 2
4441, 43mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   wss 3320   wpss 3321  c0 3628   class class class wbr 4212   cxp 4876  (class class class)co 6081  cnq 8727   cplq 8730   cltq 8733  cnp 8734   cpp 8736   cltp 8738 This theorem is referenced by:  ltaddpr2  8912  ltexprlem7  8919  ltaprlem  8921  0lt1sr  8970  mappsrpr  8983 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-plp 8860  df-ltp 8862
 Copyright terms: Public domain W3C validator