MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrp2d Structured version   Unicode version

Theorem ltaddrp2d 10678
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrp2d  |-  ( ph  ->  A  <  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem ltaddrp2d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 10677 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41recnd 9114 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
52rpcnd 10650 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
64, 5addcomd 9268 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
73, 6breqtrd 4236 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989    + caddc 8993    < clt 9120   RR+crp 10612
This theorem is referenced by:  lhop1  19898  cxp2limlem  20814  logdiflbnd  20833  bposlem1  21068  pntpbnd1a  21279  pntibndlem3  21286  pntlemb  21291  pntlemp  21304  lgamucov  24822  wallispilem4  27793  wallispi  27795  wallispi2lem1  27796  wallispi2lem2  27797  stirlinglem6  27804  stirlinglem7  27805  stirlinglem10  27808  stirlinglem11  27809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-rp 10613
  Copyright terms: Public domain W3C validator