MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrp2d Unicode version

Theorem ltaddrp2d 10467
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrp2d  |-  ( ph  ->  A  <  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem ltaddrp2d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
31, 2ltaddrpd 10466 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41recnd 8906 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
52rpcnd 10439 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
64, 5addcomd 9059 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
73, 6breqtrd 4084 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   RRcr 8781    + caddc 8785    < clt 8912   RR+crp 10401
This theorem is referenced by:  lhop1  19414  cxp2limlem  20323  bposlem1  20576  pntpbnd1a  20787  pntibndlem3  20794  pntlemb  20799  pntlemp  20812  wallispilem4  26965  wallispi  26967  wallispi2lem1  26968  wallispi2lem2  26969  stirlinglem6  26976  stirlinglem7  26977  stirlinglem10  26980  stirlinglem11  26981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-rp 10402
  Copyright terms: Public domain W3C validator