MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Unicode version

Theorem ltaddrpd 10435
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 ltaddrp 10402 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    + caddc 8756    < clt 8883   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  10436  xov1plusxeqvd  10796  isumltss  12323  effsumlt  12407  tanhlt1  12456  4sqlem12  13019  vdwlem1  13044  nlmvscnlem2  18212  nlmvscnlem1  18213  iccntr  18342  icccmplem2  18344  reconnlem2  18348  lebnumii  18480  ipcnlem2  18687  ipcnlem1  18688  ivthlem2  18828  ovolgelb  18855  ovollb2lem  18863  itg2monolem3  19123  dvferm1lem  19347  lhop1lem  19376  lhop  19379  dvcnvrelem1  19380  dvcnvrelem2  19381  pserdvlem1  19819  pserdv  19821  perfectlem2  20485  bposlem2  20540  pntibndlem2  20756  pntlemb  20762  pntlem3  20774  tpr2rico  23311  rrnequiv  26662  pellfundex  27074  rmspecfund  27097  acongeq  27173  jm3.1lem2  27214  climinf  27835  wallispilem4  27920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator