MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Unicode version

Theorem ltaddrpd 10419
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 ltaddrp 10386 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    < clt 8867   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  10420  xov1plusxeqvd  10780  isumltss  12307  effsumlt  12391  tanhlt1  12440  4sqlem12  13003  vdwlem1  13028  nlmvscnlem2  18196  nlmvscnlem1  18197  iccntr  18326  icccmplem2  18328  reconnlem2  18332  lebnumii  18464  ipcnlem2  18671  ipcnlem1  18672  ivthlem2  18812  ovolgelb  18839  ovollb2lem  18847  itg2monolem3  19107  dvferm1lem  19331  lhop1lem  19360  lhop  19363  dvcnvrelem1  19364  dvcnvrelem2  19365  pserdvlem1  19803  pserdv  19805  perfectlem2  20469  bposlem2  20524  pntibndlem2  20740  pntlemb  20746  pntlem3  20758  tpr2rico  23296  rrnequiv  26559  pellfundex  26971  rmspecfund  26994  acongeq  27070  jm3.1lem2  27111  climinf  27732  wallispilem4  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator