MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltapi Unicode version

Theorem ltapi 8527
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltapi  |-  ( C  e.  N.  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )

Proof of Theorem ltapi
StepHypRef Expression
1 dmaddpi 8514 . 2  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
2 ltrelpi 8513 . 2  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
3 0npi 8506 . 2  |-  -.  (/)  e.  N.
4 pinn 8502 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
5 pinn 8502 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
6 pinn 8502 . . . . . 6  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
7 nnaord 6617 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
84, 5, 6, 7syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
983expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
10 ltpiord 8511 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
1110adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
12 addclpi 8516 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  e.  N. )
13 addclpi 8516 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  e.  N. )
14 ltpiord 8511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  +N  A
)  e.  N.  /\  ( C  +N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B )  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
1512, 13, 14syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
16 addpiord 8508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  =  ( C  +o  A ) )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  A )  =  ( C  +o  A ) )
18 addpiord 8508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  =  ( C  +o  B ) )
1918adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  B )  =  ( C  +o  B ) )
2017, 19eleq12d 2351 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
2115, 20bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
2221anandis 803 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
2322ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
249, 11, 233bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  +N  A
)  <N  ( C  +N  B ) ) )
25243impa 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )
261, 2, 3, 25ndmovord 6010 1  |-  ( C  e.  N.  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   omcom 4656  (class class class)co 5858    +o coa 6476   N.cnpi 8466    +N cpli 8467    <N clti 8469
This theorem is referenced by:  ltanq  8595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-ni 8496  df-pli 8497  df-lti 8499
  Copyright terms: Public domain W3C validator