Theorem ltapi 5030

Description: Ordering property of addition for positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ltapi.1	|- A e. V
ltapi.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltapi	|- (C e. N. -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))

Proof of Theorem ltapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapi.2	. 2 |- B e. V
2		dmaddpi 5018	. 2 |- dom +N = (N. X. N.)
3		ltapi.1	. 2 |- A e. V
4		ltrelpi 5017	. 2 |- <N (_ (N. X. N.)
5		0npi 5010	. 2 |- -. (/) e. N.
6		nnaord 4235	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. B <-> (C +o A) e. (C +o B)))
7		pinn 5006	. . . . . 6 |- (A e. N. -> A e. om)
8		pinn 5006	. . . . . 6 |- (B e. N. -> B e. om)
9		pinn 5006	. . . . . 6 |- (C e. N. -> C e. om)
10	6, 7, 8, 9	syl3an 868	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A e. B <-> (C +o A) e. (C +o B)))
11	10	3expa 833	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A e. B <-> (C +o A) e. (C +o B)))
12		ltpiord 5015	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
13	12	adantr 389	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
14		ltpiord 5015	. . . . . . . 8 |- (((C +N A) e. N. /\ (C +N B) e. N.) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +N A) e. (C +N B)))
15		addclpi 5020	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C +N A) e. N.)
16		addclpi 5020	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C +N B) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +N A) e. (C +N B)))
18		addpiord 5012	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C +N A) = (C +o A))
19	18	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C +N A) = (C +o A))
20		addpiord 5012	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C +N B) = (C +o B))
21	20	adantl 388	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C +N B) = (C +o B))
22	19, 21	eleq12d 1542	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) e. (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
23	17, 22	bitrd 528	. . . . . 6 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
24	23	anandis 512	. . . . 5 |- ((C e. N. /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
25	24	ancoms 436	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
26	11, 13, 25	3bitr4d 550	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))
27	26	3impa 828	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 27	ndmord 4050	1 |- (C e. N. -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130  N.cnpi 4972   +N cpli 4973   <N clti 4975

This theorem is referenced by:  ltapq 5076

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-oadd 4135  df-ni 5000  df-pli 5001  df-lti 5003

Copyright terms: Public domain