MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Unicode version

Theorem ltbwe 16453
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 cnveq 4979 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  x  ->  `' h  =  `' x
)
32imaeq1d 5135 . . . . . . 7  |-  ( h  =  x  ->  ( `' h " NN )  =  ( `' x " NN ) )
43eleq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e.  Fin ) )
54cbvrabv 2891 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
6 ltbval.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 elmapi 6967 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  x : I --> NN0 )
8 nn0supp 10198 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
109eleq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e. 
Fin ) )
1110rabbiia 2882 . . . . 5  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
125, 6, 113eqtr4i 2410 . . . 4  |-  D  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin }
13 ltbwe.w . . . 4  |-  ( ph  ->  T  We  I )
14 nn0uz 10445 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
15 ltweuz 11221 . . . . . 6  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
16 weeq2 4505 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
1715, 16mpbiri 225 . . . . 5  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
1814, 17mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
19 0nn0 10161 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
20 ne0i 3570 . . . . 5  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
2119, 20mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
22 eqid 2380 . . . 4  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
23 0z 10218 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
24 hashgval2 11572 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
2523, 24om2uzoi 11215 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
26 oieq2 7408 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
2714, 26ax-mp 8 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
2825, 27eqtr4i 2403 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
29 peano1 4797 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
30 fvres 5678 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
32 hash0 11566 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
3331, 32eqtr2i 2401 . . . 4  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
341, 12, 13, 18, 21, 22, 28, 33wemapwe 7580 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
35 weinxp 4878 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
3634, 35sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
37 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
38 ltbval.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
39 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
4037, 6, 38, 39ltbval 16452 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
41 df-xp 4817 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
42 vex 2895 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43 vex 2895 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4442, 43prss 3888 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
4544opabbii 4206 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
4641, 45eqtr2i 2401 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
4746ineq1i 3474 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
48 inopab 4938 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
49 incom 3469 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5047, 48, 493eqtr3i 2408 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5140, 50syl6eq 2428 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
52 weeq1 4504 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5351, 52syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5436, 53mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   {cpr 3751   class class class wbr 4146   {copab 4199    We wwe 4474   omcom 4778    X. cxp 4809   `'ccnv 4810    |` cres 4813   "cima 4814   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947   Fincfn 7038  OrdIsocoi 7404   0cc0 8916    < clt 9046   NNcn 9925   NN0cn0 10146   ZZ>=cuz 10413   #chash 11538    <bag cltb 16333
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-seqom 6634  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-oexp 6659  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-cnf 7543  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-hash 11539  df-ltbag 16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator