Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Unicode version

Theorem ltbwe 16534
 Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c bag
ltbval.d
ltbval.i
ltbval.t
ltbwe.w
Assertion
Ref Expression
ltbwe
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . 4
2 cnveq 5047 . . . . . . . 8
32imaeq1d 5203 . . . . . . 7
43eleq1d 2503 . . . . . 6
54cbvrabv 2956 . . . . 5
6 ltbval.d . . . . 5
7 elmapi 7039 . . . . . . . 8
8 nn0supp 10274 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
109eleq1d 2503 . . . . . 6
1110rabbiia 2947 . . . . 5
125, 6, 113eqtr4i 2467 . . . 4
13 ltbwe.w . . . 4
14 nn0uz 10521 . . . . 5
15 ltweuz 11302 . . . . . 6
16 weeq2 4572 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 226 . . . . 5
1814, 17mp1i 12 . . . 4
19 0nn0 10237 . . . . 5
20 ne0i 3635 . . . . 5
2119, 20mp1i 12 . . . 4
22 eqid 2437 . . . 4 OrdIso OrdIso
23 0z 10294 . . . . . 6
24 hashgval2 11653 . . . . . 6
2523, 24om2uzoi 11296 . . . . 5 OrdIso
26 oieq2 7483 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
2714, 26ax-mp 8 . . . . 5 OrdIso OrdIso
2825, 27eqtr4i 2460 . . . 4 OrdIso
29 peano1 4865 . . . . . 6
30 fvres 5746 . . . . . 6
3129, 30ax-mp 8 . . . . 5
32 hash0 11647 . . . . 5
3331, 32eqtr2i 2458 . . . 4
341, 12, 13, 18, 21, 22, 28, 33wemapwe 7655 . . 3
35 weinxp 4946 . . 3
3634, 35sylib 190 . 2
37 ltbval.c . . . . 5 bag
38 ltbval.i . . . . 5
39 ltbval.t . . . . 5
4037, 6, 38, 39ltbval 16533 . . . 4
41 df-xp 4885 . . . . . . 7
42 vex 2960 . . . . . . . . 9
43 vex 2960 . . . . . . . . 9
4442, 43prss 3953 . . . . . . . 8
4544opabbii 4273 . . . . . . 7
4641, 45eqtr2i 2458 . . . . . 6
4746ineq1i 3539 . . . . 5
48 inopab 5006 . . . . 5
49 incom 3534 . . . . 5
5047, 48, 493eqtr3i 2465 . . . 4
5140, 50syl6eq 2485 . . 3
52 weeq1 4571 . . 3
5351, 52syl 16 . 2
5436, 53mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  wrex 2707  crab 2710  cvv 2957   cdif 3318   cin 3320   wss 3321  c0 3629  csn 3815  cpr 3816   class class class wbr 4213  copab 4266   wwe 4541  com 4846   cxp 4877  ccnv 4878   cres 4881  cima 4882  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmap 7019  cfn 7110  OrdIsocoi 7479  cc0 8991   clt 9121  cn 10001  cn0 10222  cuz 10489  chash 11619   bag cltb 16414 This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16546 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-seqom 6706  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-oexp 6731  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-cnf 7618  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-hash 11620  df-ltbag 16425
 Copyright terms: Public domain W3C validator