MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Unicode version

Theorem ltbwe 16496
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 cnveq 5013 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  x  ->  `' h  =  `' x
)
32imaeq1d 5169 . . . . . . 7  |-  ( h  =  x  ->  ( `' h " NN )  =  ( `' x " NN ) )
43eleq1d 2478 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e.  Fin ) )
54cbvrabv 2923 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
6 ltbval.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 elmapi 7005 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  x : I --> NN0 )
8 nn0supp 10237 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
109eleq1d 2478 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e. 
Fin ) )
1110rabbiia 2914 . . . . 5  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
125, 6, 113eqtr4i 2442 . . . 4  |-  D  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin }
13 ltbwe.w . . . 4  |-  ( ph  ->  T  We  I )
14 nn0uz 10484 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
15 ltweuz 11264 . . . . . 6  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
16 weeq2 4539 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
1715, 16mpbiri 225 . . . . 5  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
1814, 17mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
19 0nn0 10200 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
20 ne0i 3602 . . . . 5  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
2119, 20mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
22 eqid 2412 . . . 4  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
23 0z 10257 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
24 hashgval2 11615 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
2523, 24om2uzoi 11258 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
26 oieq2 7446 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
2714, 26ax-mp 8 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
2825, 27eqtr4i 2435 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
29 peano1 4831 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
30 fvres 5712 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
32 hash0 11609 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
3331, 32eqtr2i 2433 . . . 4  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
341, 12, 13, 18, 21, 22, 28, 33wemapwe 7618 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
35 weinxp 4912 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
3634, 35sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
37 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
38 ltbval.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
39 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
4037, 6, 38, 39ltbval 16495 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
41 df-xp 4851 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
42 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4442, 43prss 3920 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
4544opabbii 4240 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
4641, 45eqtr2i 2433 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
4746ineq1i 3506 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
48 inopab 4972 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
49 incom 3501 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5047, 48, 493eqtr3i 2440 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5140, 50syl6eq 2460 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
52 weeq1 4538 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5351, 52syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5436, 53mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   {cpr 3783   class class class wbr 4180   {copab 4233    We wwe 4508   omcom 4812    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    |` cres 4847   "cima 4848   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   Fincfn 7076  OrdIsocoi 7442   0cc0 8954    < clt 9084   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZ>=cuz 10452   #chash 11581    <bag cltb 16376
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-seqom 6672  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-oexp 6697  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-cnf 7581  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-hash 11582  df-ltbag 16387
  Copyright terms: Public domain W3C validator