MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Unicode version

Theorem ltbwe 16534
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 cnveq 5047 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  x  ->  `' h  =  `' x
)
32imaeq1d 5203 . . . . . . 7  |-  ( h  =  x  ->  ( `' h " NN )  =  ( `' x " NN ) )
43eleq1d 2503 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e.  Fin ) )
54cbvrabv 2956 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
6 ltbval.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 elmapi 7039 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  x : I --> NN0 )
8 nn0supp 10274 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
109eleq1d 2503 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e. 
Fin ) )
1110rabbiia 2947 . . . . 5  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
125, 6, 113eqtr4i 2467 . . . 4  |-  D  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin }
13 ltbwe.w . . . 4  |-  ( ph  ->  T  We  I )
14 nn0uz 10521 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
15 ltweuz 11302 . . . . . 6  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
16 weeq2 4572 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
1715, 16mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
1814, 17mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
19 0nn0 10237 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
20 ne0i 3635 . . . . 5  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
2119, 20mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
22 eqid 2437 . . . 4  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
23 0z 10294 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
24 hashgval2 11653 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
2523, 24om2uzoi 11296 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
26 oieq2 7483 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
2714, 26ax-mp 8 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
2825, 27eqtr4i 2460 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
29 peano1 4865 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
30 fvres 5746 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
32 hash0 11647 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
3331, 32eqtr2i 2458 . . . 4  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
341, 12, 13, 18, 21, 22, 28, 33wemapwe 7655 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
35 weinxp 4946 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
3634, 35sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
37 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
38 ltbval.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
39 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
4037, 6, 38, 39ltbval 16533 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
41 df-xp 4885 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
42 vex 2960 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43 vex 2960 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4442, 43prss 3953 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
4544opabbii 4273 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
4641, 45eqtr2i 2458 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
4746ineq1i 3539 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
48 inopab 5006 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
49 incom 3534 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5047, 48, 493eqtr3i 2465 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5140, 50syl6eq 2485 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
52 weeq1 4571 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5351, 52syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5436, 53mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706   E.wrex 2707   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3629   {csn 3815   {cpr 3816   class class class wbr 4213   {copab 4266    We wwe 4541   omcom 4846    X. cxp 4877   `'ccnv 4878    |` cres 4881   "cima 4882   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   Fincfn 7110  OrdIsocoi 7479   0cc0 8991    < clt 9121   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ZZ>=cuz 10489   #chash 11619    <bag cltb 16414
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-seqom 6706  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-oexp 6731  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-cnf 7618  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-hash 11620  df-ltbag 16425
  Copyright terms: Public domain W3C validator