MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Unicode version

Theorem ltbwe 16214
Description: The finite bag order is a well-order, given a well order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 cnveq 4855 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  x  ->  `' h  =  `' x
)
32imaeq1d 5011 . . . . . . 7  |-  ( h  =  x  ->  ( `' h " NN )  =  ( `' x " NN ) )
43eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
( `' h " NN )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e.  Fin ) )
54cbvrabv 2787 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
6 ltbval.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 elmapi 6792 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  x : I --> NN0 )
8 nn0supp 10017 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' x " NN ) )
109eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " NN )  e. 
Fin ) )
1110rabbiia 2778 . . . . 5  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
125, 6, 113eqtr4i 2313 . . . 4  |-  D  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
0 } ) )  e.  Fin }
13 ltbwe.w . . . 4  |-  ( ph  ->  T  We  I )
14 nn0uz 10262 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
15 ltweuz 11024 . . . . . 6  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
16 weeq2 4382 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
1715, 16mpbiri 224 . . . . 5  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
1814, 17mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
19 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
20 ne0i 3461 . . . . 5  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
2119, 20mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
22 eqid 2283 . . . 4  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
23 0z 10035 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
24 hashgval2 11360 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
2523, 24om2uzoi 11018 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
26 oieq2 7228 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
2714, 26ax-mp 8 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
2825, 27eqtr4i 2306 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
29 peano1 4675 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
30 fvres 5542 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
32 hash0 11355 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
3331, 32eqtr2i 2304 . . . 4  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
341, 12, 13, 18, 21, 22, 28, 33wemapwe 7400 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
35 weinxp 4757 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
3634, 35sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
37 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
38 ltbval.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
39 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
4037, 6, 38, 39ltbval 16213 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
41 df-xp 4695 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
42 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4442, 43prss 3769 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
4544opabbii 4083 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
4641, 45eqtr2i 2304 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
4746ineq1i 3366 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
48 inopab 4816 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
49 incom 3361 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5047, 48, 493eqtr3i 2311 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5140, 50syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
52 weeq1 4381 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5351, 52syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
5436, 53mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023   {copab 4076    We wwe 4351   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863  OrdIsocoi 7224   0cc0 8737    < clt 8867   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   #chash 11337    <bag cltb 16094
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-ltbag 16105
  Copyright terms: Public domain W3C validator