MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv1ii Unicode version

Theorem ltdiv1ii 9873
Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1  |-  A  e.  RR
prodgt0.2  |-  B  e.  RR
ltmul1.3  |-  C  e.  RR
ltmul1i.4  |-  0  <  C
Assertion
Ref Expression
ltdiv1ii  |-  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem ltdiv1ii
StepHypRef Expression
1 ltmul1i.4 . 2  |-  0  <  C
2 ltplus1.1 . . 3  |-  A  e.  RR
3 prodgt0.2 . . 3  |-  B  e.  RR
4 ltmul1.3 . . 3  |-  C  e.  RR
52, 3, 4ltdiv1i 9863 . 2  |-  ( 0  <  C  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
61, 5ax-mp 8 1  |-  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1717   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924    < clt 9054    / cdiv 9610
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12713  cos01gt0  12720  sincos4thpi  20289  bposlem8  20943  sqsscirc1  24111  log2le1  24204  stoweidlem26  27444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611
  Copyright terms: Public domain W3C validator