MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Unicode version

Theorem ltexprlem3 8849
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 8802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
2 addnqf 8759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
32fdmi 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
4 0nnq 8735 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (/)  e.  Q.
53, 4ndmovrcl 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
65simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
7 ltanq 8782 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
81, 6, 73syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x 
<->  ( y  +Q  z
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
9 prcdnq 8804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  +Q  z )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
108, 9sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1110impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( y  +Q  z
)  e.  B ) )
1211anim2d 549 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  -> 
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
1312eximdv 1629 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
14 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1514abeq2i 2495 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
16 vex 2903 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 oveq2 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
1817eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1918anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
2019exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
2116, 20, 14elab2 3029 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
2213, 15, 213imtr4g 262 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( x  e.  C  ->  z  e.  C ) )
2322ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
z  <Q  x  ->  (
x  e.  C  -> 
z  e.  C ) ) )
2423com23 74 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( z  <Q  x  ->  z  e.  C ) ) )
2524alrimdv 1640 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   class class class wbr 4154    X. cxp 4817  (class class class)co 6021   Q.cnq 8661    +Q cplq 8664    <Q cltq 8667   P.cnp 8668
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ni 8683  df-pli 8684  df-mi 8685  df-lti 8686  df-plpq 8719  df-ltpq 8721  df-enq 8722  df-nq 8723  df-erq 8724  df-plq 8725  df-1nq 8727  df-ltnq 8729  df-np 8792
  Copyright terms: Public domain W3C validator