MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Unicode version

Theorem ltexprlem3 8904
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 8857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
2 addnqf 8814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
32fdmi 5587 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
4 0nnq 8790 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (/)  e.  Q.
53, 4ndmovrcl 6224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
65simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
7 ltanq 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
81, 6, 73syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x 
<->  ( y  +Q  z
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
9 prcdnq 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  +Q  z )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
108, 9sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1110impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( y  +Q  z
)  e.  B ) )
1211anim2d 549 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  -> 
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
1312eximdv 1632 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
14 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1514abeq2i 2542 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
16 vex 2951 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 oveq2 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
1817eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1918anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
2019exbidv 1636 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
2116, 20, 14elab2 3077 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
2213, 15, 213imtr4g 262 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( x  e.  C  ->  z  e.  C ) )
2322ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
z  <Q  x  ->  (
x  e.  C  -> 
z  e.  C ) ) )
2423com23 74 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( z  <Q  x  ->  z  e.  C ) ) )
2524alrimdv 1643 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   class class class wbr 4204    X. cxp 4867  (class class class)co 6072   Q.cnq 8716    +Q cplq 8719    <Q cltq 8722   P.cnp 8723
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-1nq 8782  df-ltnq 8784  df-np 8847
  Copyright terms: Public domain W3C validator