MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Structured version   Unicode version

Theorem ltexprlem3 8920
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 8873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
2 addnqf 8830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
32fdmi 5599 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
4 0nnq 8806 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (/)  e.  Q.
53, 4ndmovrcl 6236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
65simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
7 ltanq 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
81, 6, 73syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x 
<->  ( y  +Q  z
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
9 prcdnq 8875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  +Q  z )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
108, 9sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1110impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( y  +Q  z
)  e.  B ) )
1211anim2d 550 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  -> 
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
1312eximdv 1633 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
14 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1514abeq2i 2545 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
16 vex 2961 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 oveq2 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
1817eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1918anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
2019exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
2116, 20, 14elab2 3087 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
2213, 15, 213imtr4g 263 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( x  e.  C  ->  z  e.  C ) )
2322ex 425 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
z  <Q  x  ->  (
x  e.  C  -> 
z  e.  C ) ) )
2423com23 75 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( z  <Q  x  ->  z  e.  C ) ) )
2524alrimdv 1644 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   class class class wbr 4215    X. cxp 4879  (class class class)co 6084   Q.cnq 8732    +Q cplq 8735    <Q cltq 8738   P.cnp 8739
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ni 8754  df-pli 8755  df-mi 8756  df-lti 8757  df-plpq 8790  df-ltpq 8792  df-enq 8793  df-nq 8794  df-erq 8795  df-plq 8796  df-1nq 8798  df-ltnq 8800  df-np 8863
  Copyright terms: Public domain W3C validator