Theorem ltexprlem4 5145

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	|- (B e. P. -> (x e. C -> E.z(z e. C /\ x <Q z)))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,z

Proof of Theorem ltexprlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 5099	. . . . . . . 8 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> E.w(w e. B /\ (y +Q x) <Q w))
2		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- w e. V
3		ltrelpq 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
4	2, 3	brel 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y +Q x) <Q w -> ((y +Q x) e. Q. /\ w e. Q.))
5	4	pm3.26d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y +Q x) <Q w -> (y +Q x) e. Q.)
6		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. V
7		dmaddpq 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
8		0npq 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. (/) e. Q.
9	6, 7, 8	ndmoprrcl 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y +Q x) e. Q. -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
10	5, 9	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y +Q x) <Q w -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
11		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- y e. V
12		ltsopq 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- <Q Or Q.
13		oprex 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y +Q x) e. V
14	11, 12, 3, 13, 2	sotri 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y <Q (y +Q x) /\ (y +Q x) <Q w) -> y <Q w)
15	11, 6	ltaddpq 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. Q. /\ x e. Q.) -> y <Q (y +Q x))
16	14, 15	sylan 448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y e. Q. /\ x e. Q.) /\ (y +Q x) <Q w) -> y <Q w)
17	10, 16	mpancom 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y +Q x) <Q w -> y <Q w)
18	2, 3	brel 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y <Q w -> (y e. Q. /\ w e. Q.))
19	11	ltexpq 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. Q. /\ w e. Q.) -> (y <Q w <-> E.z(y +Q z) = w))
20	19	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. Q. /\ w e. Q.) -> (y <Q w -> E.z(y +Q z) = w))
21	18, 20	mpcom 49	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y <Q w -> E.z(y +Q z) = w)
22	17, 21	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y +Q x) <Q w -> E.z(y +Q z) = w)
23		eqcom 1477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = (y +Q z) <-> (y +Q z) = w)
24	23	exbii 1051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.z w = (y +Q z) <-> E.z(y +Q z) = w)
25	22, 24	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y +Q x) <Q w -> E.z w = (y +Q z))
26	25	ancri 297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y +Q x) <Q w -> (E.z w = (y +Q z) /\ (y +Q x) <Q w))
27	26	anim2i 335	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. B /\ (y +Q x) <Q w) -> (w e. B /\ (E.z w = (y +Q z) /\ (y +Q x) <Q w)))
28		an12 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E.z w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)) <-> (w e. B /\ (E.z w = (y +Q z) /\ (y +Q x) <Q w)))
29	27, 28	sylibr 200	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. B /\ (y +Q x) <Q w) -> (E.z w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)))
30		19.41v 1305	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)) <-> (E.z w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)))
31	29, 30	sylibr 200	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. B /\ (y +Q x) <Q w) -> E.z(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)))
32	31	19.22i 1040	. . . . . . . . 9 |- (E.w(w e. B /\ (y +Q x) <Q w) -> E.wE.z(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)))
33		excom 1046	. . . . . . . . 9 |- (E.zE.w(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)) <-> E.wE.z(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)))
34	32, 33	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- (E.w(w e. B /\ (y +Q x) <Q w) -> E.zE.w(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)))
35		oprex 3983	. . . . . . . . . . 11 |- (y +Q z) e. V
36		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = (y +Q z) -> (w e. B <-> (y +Q z) e. B))
37		breq2 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = (y +Q z) -> ((y +Q x) <Q w <-> (y +Q x) <Q (y +Q z)))
38	36, 37	anbi12d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (w = (y +Q z) -> ((w e. B /\ (y +Q x) <Q w) <-> ((y +Q z) e. B /\ (y +Q x) <Q (y +Q z))))
39	35, 38	ceqsexv 1835	. . . . . . . . . 10 |- (E.w(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)) <-> ((y +Q z) e. B /\ (y +Q x) <Q (y +Q z)))
40		visset 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
41	6, 40	ltapq 5076	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. Q. -> (x <Q z <-> (y +Q x) <Q (y +Q z)))
42	6, 7, 3, 8, 41	ndmordi 4051	. . . . . . . . . . 11 |- ((y +Q x) <Q (y +Q z) -> x <Q z)
43	42	anim2i 335	. . . . . . . . . 10 |- (((y +Q z) e. B /\ (y +Q x) <Q (y +Q z)) -> ((y +Q z) e. B /\ x <Q z))
44	39, 43	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- (E.w(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)) -> ((y +Q z) e. B /\ x <Q z))
45	44	19.22i 1040	. . . . . . . 8 |- (E.zE.w(w = (y +Q z) /\ (w e. B /\ (y +Q x) <Q w)) -> E.z((y +Q z) e. B /\ x <Q z))
46	1, 34, 45	3syl 20	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> E.z((y +Q z) e. B /\ x <Q z))
47	46	anim2i 335	. . . . . 6 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (-. y e. A /\ E.z((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
48	47	an1s 486	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ (-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)) -> (-. y e. A /\ E.z((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
49		19.42v 1308	. . . . 5 |- (E.z(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z)) <-> (-. y e. A /\ E.z((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
50	48, 49	sylibr 200	. . . 4 |- ((B e. P. /\ (-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)) -> E.z(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
51	50	ex 373	. . 3 |- (B e. P. -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> E.z(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z))))
52	51	19.22dv 1290	. 2 |- (B e. P. -> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> E.yE.z(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z))))
53		ltexprlem.1	. . 3 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
54	53	abeq2i 1570	. 2 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
55		opreq2 3969	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (y +Q x) = (y +Q z))
56	55	eleq1d 1540	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> ((y +Q x) e. B <-> (y +Q z) e. B))
57	56	anbi2d 616	. . . . . . . 8 |- (x = z -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> (-. y e. A /\ (y +Q z) e. B)))
58	57	exbidv 1279	. . . . . . 7 |- (x = z -> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q z) e. B)))
59	40, 58, 53	elab2 1901	. . . . . 6 |- (z e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q z) e. B))
60	59	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((z e. C /\ x <Q z) <-> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q z) e. B) /\ x <Q z))
61		19.41v 1305	. . . . 5 |- (E.y((-. y e. A /\ (y +Q z) e. B) /\ x <Q z) <-> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q z) e. B) /\ x <Q z))
62		anass 439	. . . . . 6 |- (((-. y e. A /\ (y +Q z) e. B) /\ x <Q z) <-> (-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
63	62	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.y((-. y e. A /\ (y +Q z) e. B) /\ x <Q z) <-> E.y(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
64	60, 61, 63	3bitr2 179	. . . 4 |- ((z e. C /\ x <Q z) <-> E.y(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x <Q z)))
65	64	exbii 1051	. . 3 |- (E.z(z e. C /\ x <Q z) <-> E.zE.y(-. y e. A /\ ((y +Q z) e. B /\ x