Theorem ltexprlem5 5146

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem5	|- ((B e. P. /\ A (. B) -> C e. P.)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . 7 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
2	1	ltexprlem1 5142	. . . . . 6 |- (B e. P. -> (A (. B -> C =/= (/)))
3		0pss 2308	. . . . . 6 |- ((/) (. C <-> C =/= (/))
4	2, 3	syl6ibr 213	. . . . 5 |- (B e. P. -> (A (. B -> (/) (. C))
5	4	imp 350	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> (/) (. C)
6	1	ltexprlem2 5143	. . . . 5 |- (B e. P. -> C (. Q.)
7	6	adantr 389	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> C (. Q.)
8	5, 7	jca 288	. . 3 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> ((/) (. C /\ C (. Q.))
9	1	ltexprlem3 5144	. . . . . 6 |- (B e. P. -> (x e. C -> A.z(z <Q x -> z e. C)))
10	1	ltexprlem4 5145	. . . . . . 7 |- (B e. P. -> (x e. C -> E.z(z e. C /\ x <Q z)))
11		df-rex 1650	. . . . . . 7 |- (E.z e. C x <Q z <-> E.z(z e. C /\ x <Q z))
12	10, 11	syl6ibr 213	. . . . . 6 |- (B e. P. -> (x e. C -> E.z e. C x <Q z))
13	9, 12	jcad 600	. . . . 5 |- (B e. P. -> (x e. C -> (A.z(z <Q x -> z e. C) /\ E.z e. C x <Q z)))
14	13	r19.21aiv 1713	. . . 4 |- (B e. P. -> A.x e. C (A.z(z <Q x -> z e. C) /\ E.z e. C x <Q z))
15	14	adantr 389	. . 3 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> A.x e. C (A.z(z <Q x -> z e. C) /\ E.z e. C x <Q z))
16	8, 15	jca 288	. 2 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> (((/) (. C /\ C (. Q.) /\ A.x e. C (A.z(z <Q x -> z e. C) /\ E.z e. C x <Q z)))
17		elnp 5092	. 2 |- (C e. P. <-> (((/) (. C /\ C (. Q.) /\ A.x e. C (A.z(z <Q x -> z e. C) /\ E.z e. C x <Q z)))
18	16, 17	sylibr 200	1 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> C e. P.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   (. wpss 2048  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  Q.cnq 4979   +Q cplq 4981   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  ltexprlem6 5147  ltexprlem7 5148  ltexpri 5149

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086

Copyright terms: Public domain