MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem5 Unicode version

Theorem ltexprlem5 8664
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem1 8660 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  C  =/=  (/) ) )
3 0pss 3492 . . . . 5  |-  ( (/)  C.  C  <->  C  =/=  (/) )
42, 3syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  (/)  C.  C
) )
54imp 418 . . 3  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  (/)  C.  C )
61ltexprlem2 8661 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  C.  Q. )
81ltexprlem3 8662 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
91ltexprlem4 8663 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
10 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  x 
<Q  z  <->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) )
119, 10syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z  e.  C  x  <Q  z ) )
128, 11jcad 519 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C )  /\  E. z  e.  C  x 
<Q  z ) ) )
1312ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  A. x  e.  C  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
)  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) )
1413adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  A. x  e.  C  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  C )  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) )
155, 7, 14jca31 520 . 2  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  -> 
( ( (/)  C.  C  /\  C  C.  Q. )  /\  A. x  e.  C  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  C )  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) ) )
16 elnp 8611 . 2  |-  ( C  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  C  /\  C  C.  Q. )  /\  A. x  e.  C  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
)  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) ) )
1715, 16sylibr 203 1  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C. wpss 3153   (/)c0 3455   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   Q.cnq 8474    +Q cplq 8477    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  ltexprlem6  8665  ltexprlem7  8666  ltexpri  8667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-ltnq 8542  df-np 8605
  Copyright terms: Public domain W3C validator