Theorem ltexprlem6 5147

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem6	|- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. C) (_ B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 5088	. . . . . 6 |- +P. = {<.<.z, v>., u>. | ((z e. P. /\ v e. P.) /\ u = {f | E.g e. z E.h e. v f = (g +Q h)})}
2		visset 1813	. . . . . 6 |- z e. V
3	1, 2	genpelv 5103	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (z e. (A +P. C) <-> E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x))))
4		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
5	4	ltexprlem5 5146	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> C e. P.)
6	3, 5	sylan2 451	. . . 4 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (z e. (A +P. C) <-> E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x))))
7		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (z = (w +Q x) -> (z e. B <-> (w +Q x) e. B))
8	7	biimparc 419	. . . . . . . . 9 |- (((w +Q x) e. B /\ z = (w +Q x)) -> z e. B)
9		prub 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ y e. Q.) -> (-. y e. A -> w <Q y))
10		elprpq 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (y +Q x) e. Q.)
11		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. V
12		dmaddpq 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
13		0npq 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -. (/) e. Q.
14	11, 12, 13	ndmoprrcl 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +Q x) e. Q. -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
15	14	pm3.26d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y +Q x) e. Q. -> y e. Q.)
16	10, 15	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> y e. Q.)
17	9, 16	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (-. y e. A -> w <Q y))
18	14	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +Q x) e. Q. -> x e. Q.)
19		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- w e. V
20		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- y e. V
21		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. V
22	2, 21	ltapq 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (u e. Q. -> (z <Q v <-> (u +Q z) <Q (u +Q v)))
23	2, 21	addcompq 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z +Q v) = (v +Q z)
24	19, 20, 22, 11, 23	caoprord2 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. Q. -> (w <Q y <-> (w +Q x) <Q (y +Q x)))
25	10, 18, 24	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (w <Q y <-> (w +Q x) <Q (y +Q x)))
26		prcdpq 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> ((w +Q x) <Q (y +Q x) -> (w +Q x) e. B))
27	25, 26	sylbid 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (w <Q y -> (w +Q x) e. B))
28	27	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (w <Q y -> (w +Q x) e. B))
29	17, 28	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (-. y e. A -> (w +Q x) e. B))
30	29	exp32 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ w e. A) -> (B e. P. -> ((y +Q x) e. B -> (-. y e. A -> (w +Q x) e. B))))
31	30	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ w e. A) -> (B e. P. -> (-. y e. A -> ((y +Q x) e. B -> (w +Q x) e. B))))
32	31	imp4b 365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ B e. P.) -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> (w +Q x) e. B))
33	32	19.23adv 1214	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ B e. P.) -> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> (w +Q x) e. B))
34	4	abeq2i 1570	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
35	33, 34	syl5ib 206	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ B e. P.) -> (x e. C -> (w +Q x) e. B))
36	35	exp31 376	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. -> (w e. A -> (B e. P. -> (x e. C -> (w +Q x) e. B))))
37	36	com23 32	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (w e. A -> (x e. C -> (w +Q x) e. B))))
38	37	imp43 370	. . . . . . . . 9 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (w e. A /\ x e. C)) -> (w +Q x) e. B)
39	8, 38	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (w e. A /\ x e. C)) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B)
40	39	exp31 376	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((w e. A /\ x e. C) -> (z = (w +Q x) -> z e. B)))
41	40	imp3a 361	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B))
42	41	19.23advv 1297	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B))
43	42	adantrr 395	. . . 4 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B))
44	6, 43	sylbid 203	. . 3 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (z e. (A +P. C) -> z e. B))
45	44	ssrdv 2070	. 2 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (A +P. C) (_ B)
46	45	anassrs 441	1 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. C) (_ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   (_ wss 2047   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  Q.cnq 4979   +Q cplq 4981   <Q cltq 4984  P.cnp 4985   +P. cpp 4987

This theorem is referenced by:  ltexpri 5149

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088

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