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Theorem ltexprlem7 8903
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables  z  w  v  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 8901 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 ltaddpr 8895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  <P  ( A  +P.  C ) )
4 addclpr 8879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  +P.  C
)  e.  P. )
5 ltprord 8891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( A  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
64, 5syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  <P  ( A  +P.  C )  <->  A  C.  ( A  +P.  C ) ) )
73, 6mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C.  ( A  +P.  C ) )
87pssssd 3431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  C_  ( A  +P.  C ) )
98sseld 3334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
109a1d 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
1110a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1211com4r 82 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
1312exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
14 prnmadd 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  P.  /\  w  e.  B )  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B )
1514ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  E. v ( w  +Q  v )  e.  B
) )
16 elprnq 8852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  v )  e.  Q. )
17 addnqf 8809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
1817fdmi 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
19 0nnq 8785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (/)  e.  Q.
2018, 19ndmovrcl 6219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  Q.  ->  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
2221simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  w  e.  Q. )
23 vex 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
2423prlem934 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  P.  ->  E. z  e.  A  -.  (
z  +Q  v )  e.  A )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  E. z  e.  A  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A )
26 prub 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  z  <Q  w ) )
27 ltexnq 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  w 
<->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) )
2926, 28sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) )
3029ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x
( z  +Q  x
)  =  w ) ) )
3130ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  E. x ( z  +Q  x )  =  w ) ) )
32 vex 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  z  e. 
_V
33 vex 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  x  e. 
_V
34 addcomnq 8812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f
)
35 addassnq 8819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  +Q  g )  +Q  h )  =  ( f  +Q  (
g  +Q  h ) )
3632, 23, 33, 34, 35caov32 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  x )  +Q  v
)
37 oveq1 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  +Q  v )  =  ( w  +Q  v ) )
3836, 37syl5eq 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  v
)  +Q  x )  =  ( w  +Q  v ) )
3938eleq1d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B  <->  ( w  +Q  v )  e.  B
) )
4039biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( ( z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B
)
41 ovex 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  +Q  v )  e. 
_V
42 eleq1 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  e.  A  <->  ( z  +Q  v )  e.  A
) )
4342notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )
44 oveq1 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
y  +Q  x )  =  ( ( z  +Q  v )  +Q  x ) )
4544eleq1d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( (
z  +Q  v )  +Q  x )  e.  B ) )
4643, 45anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  ( z  +Q  v )  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B ) ) )
4741, 46spcev 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
481abeq2i 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
4947, 48sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  v )  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  C
)
5040, 49sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) )  ->  x  e.  C )
51 df-plp 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  +P.  =  ( x  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { z  |  E. f  e.  x  E. v  e.  w  z  =  ( f  +Q  v ) } )
52 addclnq 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  v
)  e.  Q. )
5351, 52genpprecl 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5450, 53sylan2i 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( -.  ( z  +Q  v
)  e.  A  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  ( w  +Q  v )  e.  B
) ) )  -> 
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5554exp4d 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  A  ->  ( -.  ( z  +Q  v )  e.  A  ->  ( (
( z  +Q  x
)  =  w  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
5655imp42 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C ) )
57 eleq1 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  +Q  x )  =  w  ->  (
( z  +Q  x
)  e.  ( A  +P.  C )  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5857ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  ( ( z  +Q  x )  e.  ( A  +P.  C
)  <->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
5956, 58mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v
)  e.  A ) )  /\  ( ( z  +Q  x )  =  w  /\  (
w  +Q  v )  e.  B ) )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) )
6059exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
( z  +Q  x
)  =  w  -> 
( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6160exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  ( E. x ( z  +Q  x )  =  w  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6231, 61syl6d 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  ( z  +Q  v )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6325, 62rexlimddv 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( (
w  +Q  v )  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6463com14 84 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  +Q  v )  e.  B  ->  (
w  e.  Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( w  e. 
Q.  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
6622, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( w  +Q  v
)  e.  B )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) )
6766ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( w  +Q  v
)  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6867exlimdv 1646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. v ( w  +Q  v )  e.  B  ->  ( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
6915, 68syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  -> 
( -.  w  e.  A  ->  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  w  e.  ( A  +P.  C
) ) ) ) )
7069com4t 81 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  e.  P.  ->  (
w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7170exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( -.  w  e.  A  -> 
( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7213, 71pm2.61i 158 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( C  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
732, 72syl5 30 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  ( B  e. 
P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7473exp3a 426 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( B  e.  P.  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7574com34 79 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) ) )
7675pm2.43d 46 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  -> 
( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) ) ) )
7776imp31 422 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( A  +P.  C ) ) )
7877ssrdv 3341 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  B  C_  ( A  +P.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2416   E.wrex 2693    C_ wss 3307    C. wpss 3308   class class class wbr 4199    X. cxp 4862  (class class class)co 6067   Q.cnq 8711    +Q cplq 8714    <Q cltq 8717   P.cnp 8718    +P. cpp 8720    <P cltp 8722
This theorem is referenced by:  ltexpri  8904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-ni 8733  df-pli 8734  df-mi 8735  df-lti 8736  df-plpq 8769  df-mpq 8770  df-ltpq 8771  df-enq 8772  df-nq 8773  df-erq 8774  df-plq 8775  df-mq 8776  df-1nq 8777  df-rq 8778  df-ltnq 8779  df-np 8842  df-plp 8844  df-ltp 8846
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