MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltle Unicode version

Theorem ltle 9123
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)

Proof of Theorem ltle
StepHypRef Expression
1 orc 375 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 leloe 9121 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
31, 2syl5ibr 213 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   RRcr 8949    < clt 9080    <_ cle 9081
This theorem is referenced by:  letr  9127  letric  9134  ltlen  9135  ltlei  9155  ltled  9181  lt2add  9473  lep1  9809  lem1  9811  letrp1  9812  ltmul12a  9826  lediv12a  9863  bndndx  10180  uzind  10321  fnn0ind  10329  eluz2b2  10508  lbzbi  10524  zmin  10530  rpnnen1lem1  10560  rpnnen1lem2  10561  rpnnen1lem3  10562  rpnnen1lem5  10564  rpge0  10584  rpneg  10601  iccsplit  10989  elfzouz2  11112  fzostep1  11156  fllep1  11169  fracle1  11171  expgt1  11377  expnbnd  11467  expnlbnd2  11469  faclbnd  11540  resqrex  12015  sqrgt0  12023  absmax  12092  eqsqr2d  12131  rlim2lt  12250  mulcn2  12348  rlimo1  12369  o1rlimmul  12371  climbdd  12424  caucvgrlem  12425  supcvg  12594  efcllem  12639  sin01bnd  12745  cos01bnd  12746  sin01gt0  12750  cos01gt0  12751  absef  12757  efieq1re  12759  ruclem11  12798  pythagtriplem12  13159  pythagtriplem13  13160  pythagtriplem14  13161  pythagtriplem16  13163  pclem  13171  isabvd  15867  met2ndci  18509  blcvx  18786  icoopnst  18921  iocopnst  18922  nmoleub2a  19082  nmoleub2b  19083  nmhmcn  19085  iscmet3lem2  19202  caubl  19217  ivthlem2  19306  ovolicc2lem4  19373  ioombl1lem4  19412  volsup2  19454  itg2monolem1  19599  itg2gt0  19609  itg2cnlem1  19610  dvne0  19852  ftc1lem4  19880  dgrlt  20141  aalioulem5  20210  ulmbdd  20271  iblulm  20280  radcnvlem1  20286  abelthlem5  20308  abelthlem7  20311  sincosq1lem  20362  tangtx  20370  tanabsge  20371  sinq12ge0  20373  sineq0  20386  tanord  20397  logcj  20458  argregt0  20462  argrege0  20463  argimgt0  20464  logdmnrp  20489  logcnlem3  20492  logf1o2  20498  cxpsqrlem  20550  abscxpbnd  20594  logreclem  20617  asinneg  20683  atanlogsublem  20712  atanlogsub  20713  rlimcnp  20761  xrlimcnp  20764  basellem8  20827  chtub  20953  bposlem9  21033  chebbnd1  21123  chtppilimlem1  21124  dchrvmasumiflem1  21152  mulog2sumlem2  21186  pntrmax  21215  pntibndlem2  21242  pntibndlem3  21243  pntlemf  21256  nmblolbii  22257  ubthlem1  22329  bcsiALT  22638  nmbdoplbi  23484  nmcexi  23486  nmcoplbi  23488  lnconi  23493  nmbdfnlbi  23509  nmcfnlbi  23512  nmopcoi  23555  branmfn  23565  leopmul  23594  nmopleid  23599  esumcvg  24433  ballotlemfrceq  24743  sinccvglem  25066  mulge0b  25148  axlowdimlem16  25804  ltflcei  26144  ftc1cnnclem  26181  opnrebl2  26218  ivthALT  26232  incsequz2  26347  nnubfi  26348  bfplem2  26426  pell14qrgap  26832  pellfundre  26838  pellfundlb  26841  ioovolcl  27613  stoweidlem17  27637  stoweidlem34  27654  wallispilem1  27685  ltsubnn0  27977  ubmelfzo  27990  ubmelm1fzo  27991  swrdccatin12lem3  28028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086
  Copyright terms: Public domain W3C validator