MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltled Unicode version

Theorem ltled 8967
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltled.1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltled  |-  ( ph  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem ltled
StepHypRef Expression
1 ltled.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltle 8910 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
61, 5mpd 14 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  ltnsymd  8968  mulge0  9291  msqge0  9295  addgt0d  9347  lt2addd  9394  lt2msq1  9639  uzwo3  10311  expmulnbnd  11233  fzsdom2  11382  isercolllem1  12138  caucvgrlem  12145  climcnds  12310  geomulcvg  12332  mertenslem1  12340  ruclem2  12510  ruclem12  12519  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  4sqlem7  12991  vdwlem1  13028  met1stc  18067  nlmvscnlem2  18196  icccmplem2  18328  reconnlem2  18332  xrhmeo  18444  cnheibor  18453  nmoleub2lem3  18596  ipcnlem2  18671  minveclem3b  18792  ivthlem1  18811  ivthlem2  18812  ivth2  18815  ivthle  18816  ivthle2  18817  ovollb2lem  18847  ovolicc2lem4  18879  ovolicc2lem5  18880  ioombl1lem4  18918  uniioombllem4  18941  uniioombllem5  18942  opnmbllem  18956  ismbf3d  19009  mbfi1fseqlem6  19075  itg2gt0  19115  dveflem  19326  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  rollelem  19336  rolle  19337  cmvth  19338  mvth  19339  c1liplem1  19343  dvgt0lem1  19349  dvivthlem1  19355  lhop1lem  19360  lhop1  19361  dvcnvrelem1  19364  dvcnvrelem2  19365  dvcvx  19367  dgradd2  19649  aaliou3lem8  19725  aaliou3lem7  19729  ulmdvlem1  19777  itgulm  19784  radcnvlt1  19794  radcnvle  19796  abelthlem7  19814  efcvx  19825  coseq0negpitopi  19871  tangtx  19873  tanabsge  19874  tanord  19900  divlogrlim  19982  logno1  19983  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  logtayl  20007  logccv  20010  cxple  20042  chordthmlem4  20132  asinsin  20188  atanlogaddlem  20209  atantan  20219  cxp2limlem  20270  logdifbnd  20288  emcllem4  20292  harmonicbnd4  20304  ftalem1  20310  ftalem2  20311  ftalem3  20312  basellem5  20322  basellem8  20325  chpchtsum  20458  bposlem1  20523  lgseisenlem1  20588  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  chtppilimlem1  20622  chto1ub  20625  chpo1ubb  20630  vmadivsumb  20632  dchrisumlem3  20640  mulog2sumlem1  20683  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  selbergb  20698  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem2  20707  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumbnd  20715  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6a  20731  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemb  20746  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemp  20759  ostth2lem2  20783  smcnlem  21270  bcm1n  23032  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemimin  23064  ballotlemfrcn0  23088  cnre2csqlem  23294  tpr2rico  23296  dya2iocseg  23579  dstfrvunirn  23675  subfacval3  23720  erdszelem8  23729  cvmliftlem6  23821  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem8  23823  cvmliftlem9  23824  cvmliftlem10  23825  sinccvglem  24005  fznatpl1  24093  axpaschlem  24568  axlowdimlem16  24585  areacirclem2  24925  areacirc  24931  isbnd3  26508  cntotbnd  26520  rrnequiv  26559  irrapxlem3  26909  pellexlem2  26915  pellfundglb  26970  monotuz  27026  monotoddzzfi  27027  acongrep  27067  stirlinglem1  27823  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832  stirlinglem12  27834  stirlinglem13  27835  stirlingr  27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator