MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltleii Unicode version

Theorem ltleii 8941
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
ltlei.1  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
ltleii  |-  A  <_  B

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2  |-  A  < 
B
2 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
3 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
42, 3ltlei 8940 . 2  |-  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
51, 4ax-mp 8 1  |-  A  <_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  0le1  9297  ledivp1i  9682  ltdivp1i  9683  expubnd  11162  faclbnd4lem1  11306  sqr4  11758  sqr9  11759  sqr2gt1lt2  11760  absrdbnd  11825  sqreulem  11843  amgm2  11853  sqrpclii  11866  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  geo2lim  12331  0.999...  12337  efcllem  12359  ege2le3  12371  ef01bndlem  12464  sin01bnd  12465  cos01bnd  12466  cos2bnd  12468  sin01gt0  12470  rpnnen2lem3  12495  rpnnen2lem4  12496  rpnnen2lem9  12501  rpnnen2  12504  bitsp1o  12624  bitsmod  12627  isprm3  12767  strlemor1  13235  strleun  13238  abvtrivd  15605  iihalf1  18429  elii1  18433  htpycc  18478  pcoval1  18511  pco0  18512  pcoval2  18514  pcocn  18515  pcohtpylem  18517  pcopt  18520  pcopt2  18521  pcoass  18522  pcorevlem  18524  minveclem2  18790  vitalilem4  18966  vitali  18968  mbfi1fseqlem6  19075  iblcnlem1  19142  dveflem  19326  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem8  19725  sinhalfpilem  19834  sincosq1lem  19865  sincos4thpi  19881  tan4thpi  19882  sincos6thpi  19883  tanregt0  19901  efif1olem4  19907  relogrn  19919  argregt0  19964  argrege0  19965  logneg2  19969  asin1  20190  reasinsin  20192  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ub  20245  harmonicbnd3  20301  ppisval  20341  ppiublem1  20441  ppiub  20443  bcmono  20516  bposlem1  20523  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem7  20529  bposlem8  20530  bposlem9  20531  lgsdir2lem1  20562  m1lgs  20601  2sqlem11  20614  chebbnd1lem3  20620  chpchtlim  20628  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlema  20649  dchrvmasumiflem1  20650  logdivsum  20682  mulog2sumlem2  20684  log2sumbnd  20693  chpdifbndlem1  20702  pntpbnd1a  20734  pntpbnd2  20736  pntibndlem3  20741  pntlemk  20755  ex-fl  20834  ipidsq  21286  minvecolem2  21454  normlem6  21694  normpar2i  21735  sqsscirc1  23292  rnlogblem  23401  konigsberg  23911  4bc2eq6  24099  axlowdimlem3  24572  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem7  24576  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  cntrset  25602  fnckle  26045  pspf  26051  pgapspf  26052  fdc  26455  heiborlem8  26542  jm2.20nn  27090  lhe4.4ex1a  27546  stirlinglem11  27833  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839  usgraexvlem  28127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator