MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltleii Unicode version

Theorem ltleii 9156
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
ltlei.1  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
ltleii  |-  A  <_  B

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2  |-  A  < 
B
2 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
3 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
42, 3ltlei 9155 . 2  |-  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
51, 4ax-mp 8 1  |-  A  <_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   RRcr 8949    < clt 9080    <_ cle 9081
This theorem is referenced by:  0le1  9511  ledivp1i  9896  ltdivp1i  9897  4fvwrd4  11080  fzo0to42pr  11145  expubnd  11399  faclbnd4lem1  11543  sqr4  12037  sqr9  12038  sqr2gt1lt2  12039  absrdbnd  12104  sqreulem  12122  amgm2  12132  sqrpclii  12145  climcndslem1  12588  climcndslem2  12589  geo2lim  12611  0.999...  12617  efcllem  12639  ege2le3  12651  ef01bndlem  12744  sin01bnd  12745  cos01bnd  12746  cos2bnd  12748  sin01gt0  12750  rpnnen2lem3  12775  rpnnen2lem4  12776  rpnnen2lem9  12781  rpnnen2  12784  bitsp1o  12904  bitsmod  12907  isprm3  13047  strlemor1  13515  strleun  13518  abvtrivd  15887  iihalf1  18913  elii1  18917  htpycc  18962  pcoval1  18995  pco0  18996  pcoval2  18998  pcocn  18999  pcohtpylem  19001  pcopt  19004  pcopt2  19005  pcoass  19006  pcorevlem  19008  minveclem2  19284  vitalilem4  19460  vitali  19462  mbfi1fseqlem6  19569  iblcnlem1  19636  dveflem  19820  aaliou3lem2  20217  aaliou3lem8  20219  sinhalfpilem  20331  sincosq1lem  20362  sincos4thpi  20378  tan4thpi  20379  sincos6thpi  20380  tanregt0  20398  efif1olem4  20404  relogrn  20416  argregt0  20462  argrege0  20463  logneg2  20467  asin1  20691  reasinsin  20693  log2cnv  20741  log2tlbnd  20742  log2ub  20746  harmonicbnd3  20803  ppisval  20843  ppiublem1  20943  ppiub  20945  bcmono  21018  bposlem1  21025  bposlem3  21027  bposlem4  21028  bposlem5  21029  bposlem7  21031  bposlem8  21032  bposlem9  21033  lgsdir2lem1  21064  m1lgs  21103  2sqlem11  21116  chebbnd1lem3  21122  chpchtlim  21130  dchrvmasumlem2  21149  dchrvmasumlema  21151  dchrvmasumiflem1  21152  logdivsum  21184  mulog2sumlem2  21186  log2sumbnd  21195  chpdifbndlem1  21204  pntpbnd1a  21236  pntpbnd2  21238  pntibndlem3  21243  pntlemk  21257  usgraexvlem  21371  usgraex0elv  21372  usgraex1elv  21373  usgraex2elv  21374  usgraex3elv  21375  constr3pthlem3  21601  4cycl4v4e  21610  4cycl4dv4e  21612  konigsberg  21666  ex-fl  21712  ipidsq  22166  minvecolem2  22334  normlem6  22574  normpar2i  22615  sqsscirc1  24263  rnlogblem  24356  4bc2eq6  25161  axlowdimlem3  25791  axlowdimlem6  25794  axlowdimlem7  25795  axlowdimlem16  25804  axlowdimlem17  25805  axlowdim  25808  fdc  26343  heiborlem8  26421  jm2.20nn  26962  lhe4.4ex1a  27418  itgsin0pilem1  27615  itgsinexplem1  27619  stoweidlem26  27646  wallispilem2  27686  wallispilem4  27688  wallispi  27690  wallispi2  27693  stirlinglem1  27694  stirlinglem6  27699  stirlinglem7  27700  stirlinglem15  27708  stirlingr  27710  usgra2pthlem1  28044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086
  Copyright terms: Public domain W3C validator