Theorem ltlen 6983

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'.

Assertion

Ref	Expression
ltlen	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A <_ B /\ B =/= A)))

Proof of Theorem ltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 6981	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))
2		ltne 6977	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A < B) -> B =/= A)
3	2	3expia 1347	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> B =/= A))
4	1, 3	jcad 592	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> (A <_ B /\ B =/= A)))
5		leloe 6979	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
6		ax-1 4	. . . . 5 |- (A < B -> (B =/= A -> A < B))
7		df-ne 2297	. . . . . 6 |- (B =/= A <-> -. B = A)
8		pm2.24 131	. . . . . . 7 |- (B = A -> (-. B = A -> A < B))
9	8	eqcoms 2173	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B = A -> A < B))
10	7, 9	syl5bi 270	. . . . 5 |- (A = B -> (B =/= A -> A < B))
11	6, 10	jaoi 549	. . . 4 |- ((A < B \/ A = B) -> (B =/= A -> A < B))
12	5, 11	syl6bi 284	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B -> (B =/= A -> A < B)))
13	12	imp3a 491	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B =/= A) -> A < B))
14	4, 13	impbid 250	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A <_ B /\ B =/= A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 231   \/ wo 432   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617   =/= wne 2295   class class class wbr 3539  RRcr 6828   <_ cle 6943   < clt 6947

This theorem is referenced by:  ltleni 7037  rpneg 7698  uzm1 8066  eluz2b3 8095  elfzp1 8160  metgt0 10113  iintlem1 16063  uzm1OLD 16869  fzm1 16881  recms 17095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886  ax-pre-lttri 6903  ax-pre-lttrn 6904

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-nel 2298  df-ral 2389  df-rex 2390  df-rab 2392  df-v 2571  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-er 5519  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-pnf 6948  df-mnf 6949  df-xr 6950  df-ltxr 6951  df-le 6952

Copyright terms: Public domain