Theorem ltlet 5520

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'.

Assertion

Ref	Expression
ltlet	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))

Proof of Theorem ltlet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloet 5518	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
2		orc 269	. 2 |- (A < B -> (A < B \/ A = B))
3	1, 2	syl5bir 210	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  ltlent 5522  letrt 5525  ltle 5580  letrit 5620  lep1t 5812  letrp1t 5816  ltmul12it 5841  lediv12it 5896  ledivp1t 5905  avglet 6044  bndndx 6073  elnnz1 6155  zltp1let 6181  uzind 6205  uzwo3lem1 6216  quoremOLD 6252  rpge0t 6287  fsequb2 6524  expnbndt 6654  sqrlem5 6677  absmaxt 6897  seq1ublem 6911  cvg1i 6920  cvg2 6922  fsum1ps 7018  fsumsplit 7020  fsumcmpndx2 7042  clm4le 7081  climge0 7112  climmullem4 7123  climcau 7156  caucvglem2 7158  caucvglem6 7162  ser1f0 7170  iserzgt0 7211  reccnv 7218  infcvglem3 7223  cvgratlem2ALT 7248  cvgratlem1 7250  cvgratlem2 7251  cvgratlem5 7254  ivthlem7 7287  erelem3 7321  efaddlem25 7362  eftabs 7375  abspef01tlub 7395  absefm1le 7412  cos01gt0 7477  abseft 7483  znnen 7502  ruclem33 7542  ssblex 7856  metcnpi3 7892  metcnpi4 7893  metcni2 7895  lmnn 7935  bcthlem18 8016  nmblolbii 8459  blocnilem 8464  ubthlem5 8533  ubthlem10 8538  ubthlem13 8541  pilem2 8672  pilem3 8673  sincosq1lem 8703  efifolem4 8725  bcsALT 9046  pjthlem10 9228  nmbdoplb 9949  nmcopexlem3 9953  nmcoplb 9958  nmbdfnlb 9978  nmcfnexlem3 9982  nmcfnlb 9987  nmopco 10028  branmfnt 10038  leopmult 10067  nmopleidt 10072  mslb1 10629  2wsms 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain