MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletr Unicode version

Theorem ltletr 8913
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 leloe 8908 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
3 lttr 8899 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43exp3acom23 1362 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
5 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  <->  A  <  C ) )
65biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) )
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  <  C  \/  B  =  C
)  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
109com23 72 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <_  C  ->  A  <  C ) ) )
1110imp3a 420 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  ltletri  8947  ltletrd  8976  ltleadd  9257  lediv12a  9649  nngt0  9775  nnrecgt0  9783  elnnnn0c  10009  elnnz1  10049  zltp1le  10067  lbzbi  10306  zbtwnre  10314  qbtwnre  10526  xlemul1a  10608  xrsupsslem  10625  ceile  10958  sqrlem4  11731  resqrex  11736  caubnd  11842  rlim2lt  11971  cos01gt0  12471  znnenlem  12490  ruclem12  12519  sadcaddlem  12648  nn0seqcvgd  12740  coprm  12779  prmlem1  13109  prmlem2  13121  icoopnst  18437  ovollb2lem  18847  dvcnvrelem1  19364  aaliou  19718  tanord  19900  logdivlti  19971  logdivlt  19972  ftalem2  20311  pntlem3  20758  lmdvg  23376  nn0prpwlem  26238  stoweidlem11  27760  stoweidlem18  27767  stoweidlem24  27773  stoweidlem25  27774  stoweidlem26  27775  stoweidlem34  27783  stoweidlem36  27785  stoweidlem42  27791  stoweidlem44  27793  stoweidlem51  27800  stoweidlem59  27808  stoweid  27812  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator