MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletr Unicode version

Theorem ltletr 8929
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 leloe 8924 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
3 lttr 8915 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43exp3acom23 1362 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
5 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  <->  A  <  C ) )
65biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) )
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  <  C  \/  B  =  C
)  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
109com23 72 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <_  C  ->  A  <  C ) ) )
1110imp3a 420 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  ltletri  8963  ltletrd  8992  ltleadd  9273  lediv12a  9665  nngt0  9791  nnrecgt0  9799  elnnnn0c  10025  elnnz1  10065  zltp1le  10083  lbzbi  10322  zbtwnre  10330  qbtwnre  10542  xlemul1a  10624  xrsupsslem  10641  ceile  10974  sqrlem4  11747  resqrex  11752  caubnd  11858  rlim2lt  11987  cos01gt0  12487  znnenlem  12506  ruclem12  12535  sadcaddlem  12664  nn0seqcvgd  12756  coprm  12795  prmlem1  13125  prmlem2  13137  icoopnst  18453  ovollb2lem  18863  dvcnvrelem1  19380  aaliou  19734  tanord  19916  logdivlti  19987  logdivlt  19988  ftalem2  20327  pntlem3  20774  lmdvg  23391  ltflcei  24998  itg2addnc  25005  nn0prpwlem  26341  stoweidlem11  27863  stoweidlem18  27870  stoweidlem24  27876  stoweidlem25  27877  stoweidlem26  27878  stoweidlem34  27886  stoweidlem36  27888  stoweidlem42  27894  stoweidlem44  27896  stoweidlem51  27903  stoweidlem59  27911  stoweid  27915  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  wallispi2  27925  elfznelfzo  28213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator