MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletrd Unicode version

Theorem ltletrd 9123
Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ltletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
ltletrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem ltletrd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 ltletr 9060 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   RRcr 8883    < clt 9014    <_ cle 9015
This theorem is referenced by:  uzwo3  10462  rpgecl  10530  modabs  11161  seqf1olem1  11249  expgt1  11305  leexp2a  11322  bernneq3  11394  expnbnd  11395  expmulnbnd  11398  digit1  11400  discr1  11402  hashfun  11587  seqcoll2  11600  abssubne0  12007  reccn2  12277  isercolllem1  12345  isumltss  12515  efcllem  12567  sin01bnd  12673  cos01bnd  12674  sin01gt0  12678  eirrlem  12690  rpnnen2lem11  12711  ruclem10  12725  bitsmod  12835  bitsinv1lem  12840  smuval2  12881  prmreclem5  13175  1arith  13182  2expltfac  13313  mndodconglem  15066  sylow1lem1  15119  gzrngunit  16654  nlmvscnlem1  18410  nrginvrcnlem  18414  iccpnfhmeo  18658  cnheibor  18668  evth  18672  lebnumlem1  18674  ipcnlem1  18887  lmnn  18904  ovolicc2lem2  19092  itg2monolem1  19320  itg2monolem3  19322  dvferm1lem  19546  dvcnvre  19581  dvfsumlem3  19590  dvfsumrlim  19593  plyco0  19789  aaliou2b  19936  pilem2  20046  cosordlem  20111  logdivlti  20193  logdivle  20195  logcnlem3  20213  logcnlem4  20214  cxpcn3lem  20309  atanre  20403  atanlogaddlem  20431  atans2  20449  ressatans  20452  birthdaylem3  20470  cxp2lim  20493  cxploglim2  20495  jensenlem2  20504  harmonicubnd  20526  fsumharmonic  20528  ftalem2  20534  ftalem5  20537  vma1  20627  chtrpcl  20636  ppiltx  20638  fsumfldivdiaglem  20652  chtub  20674  fsumvma2  20676  chpval2  20680  chpchtsum  20681  chpub  20682  bpos1  20745  bposlem1  20746  bposlem2  20747  bposlem6  20751  lgsquadlem1  20816  chebbnd1lem1  20841  chebbnd1lem2  20842  chebbnd1lem3  20843  chebbnd1  20844  chtppilimlem1  20845  chtppilimlem2  20846  chtppilim  20847  chto1ub  20848  chebbnd2  20849  chto1lb  20850  chpchtlim  20851  chpo1ub  20852  rplogsumlem2  20857  dchrisumlema  20860  dchrisumlem3  20863  dchrmusumlema  20865  dchrvmasumlem2  20870  dchrvmasumiflem1  20873  dchrisum0lema  20886  mulog2sumlem1  20906  chpdifbndlem1  20925  chpdifbnd  20927  pntrsumo1  20937  pntpbnd1  20958  pntpbnd2  20959  pntibndlem2  20963  pntlemb  20969  pntlemh  20971  pntlemr  20974  pntlem3  20981  pnt2  20985  ostth2lem1  20990  ostth2lem3  21007  ostth2lem4  21008  dya2icoseg  24090  lgamgulmlem2  24262  lgamgulmlem3  24263  lgamucov  24270  subfacval3  24323  fznatpl1  24682  fprodntriv  24752  axsegconlem7  25293  axsegconlem10  25296  axlowdimlem16  25327  axcontlem2  25335  axcontlem4  25337  axcontlem7  25340  itg2addnclem  25675  areacirclem6  25705  icodiamlt  26411  irrapxlem4  26416  irrapxlem5  26417  pellexlem2  26421  pell14qrgapw  26467  pellqrex  26470  pellfundgt1  26474  pellfundex  26477  ltrmxnn0  26542  jm2.24nn  26552  jm2.17c  26555  jm2.24  26556  jm2.23  26595  jm3.1lem1  26616  jm3.1lem2  26617  stirlinglem5  27333  stirlinglem7  27335  stirlinglem11  27339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator