MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletrd Unicode version

Theorem ltletrd 8976
Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ltletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
ltletrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem ltletrd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 ltletr 8913 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  uzwo3  10311  rpgecl  10379  modabs  10997  seqf1olem1  11085  expgt1  11140  leexp2a  11157  bernneq3  11229  expnbnd  11230  expmulnbnd  11233  digit1  11235  discr1  11237  hashfun  11389  seqcoll2  11402  abssubne0  11800  reccn2  12070  isercolllem1  12138  isumltss  12307  efcllem  12359  sin01bnd  12465  cos01bnd  12466  sin01gt0  12470  eirrlem  12482  rpnnen2lem11  12503  ruclem10  12517  bitsmod  12627  bitsinv1lem  12632  smuval2  12673  prmreclem5  12967  1arith  12974  2expltfac  13105  mndodconglem  14856  sylow1lem1  14909  gzrngunit  16437  nlmvscnlem1  18197  nrginvrcnlem  18201  iccpnfhmeo  18443  cnheibor  18453  evth  18457  lebnumlem1  18459  ipcnlem1  18672  lmnn  18689  ovolicc2lem2  18877  itg2monolem1  19105  itg2monolem3  19107  dvferm1lem  19331  dvcnvre  19366  dvfsumlem3  19375  dvfsumrlim  19378  plyco0  19574  aaliou2b  19721  pilem2  19828  cosordlem  19893  logdivlti  19971  logdivle  19973  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  cxpcn3lem  20087  atanre  20181  atanlogaddlem  20209  atans2  20227  ressatans  20230  birthdaylem3  20248  cxp2lim  20271  cxploglim2  20273  jensenlem2  20282  harmonicubnd  20303  fsumharmonic  20305  ftalem2  20311  ftalem5  20314  vma1  20404  chtrpcl  20413  ppiltx  20415  fsumfldivdiaglem  20429  chtub  20451  fsumvma2  20453  chpval2  20457  chpchtsum  20458  chpub  20459  bpos1  20522  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem6  20528  lgsquadlem1  20593  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  chtppilimlem1  20622  chtppilimlem2  20623  chtppilim  20624  chto1ub  20625  chebbnd2  20626  chto1lb  20627  chpchtlim  20628  chpo1ub  20629  rplogsumlem2  20634  dchrisumlema  20637  dchrisumlem3  20640  dchrmusumlema  20642  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0lema  20663  mulog2sumlem1  20683  chpdifbndlem1  20702  chpdifbnd  20704  pntrsumo1  20714  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemb  20746  pntlemh  20748  pntlemr  20751  pntlem3  20758  pnt2  20762  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  ostth2lem4  20785  dya2iocseg  23579  subfacval3  23720  fznatpl1  24093  axsegconlem7  24551  axsegconlem10  24554  axlowdimlem16  24585  axcontlem2  24593  axcontlem4  24595  axcontlem7  24598  areacirclem6  24930  icodiamlt  26905  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  pell14qrgapw  26961  pellqrex  26964  pellfundgt1  26968  pellfundex  26971  ltrmxnn0  27036  jm2.24nn  27046  jm2.17c  27049  jm2.24  27050  jm2.23  27089  jm3.1lem1  27110  jm3.1lem2  27111  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem11  27833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator