MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Unicode version

Theorem ltm1d 9907
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltm1d  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltm1 9814 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   RRcr 8953   1c1 8955    < clt 9084    - cmin 9255
This theorem is referenced by:  suprzcl  10313  fzsuc2  11068  fsumm1  12500  isumsplit  12583  climcndslem1  12592  bitsfzolem  12909  fldivp1  13229  4sqlem12  13287  ram0  13353  sylow1lem1  15195  dgreq0  20144  atanlogsublem  20716  birthdaylem3  20753  wilthlem1  20812  ftalem5  20820  basellem5  20828  lgsval2lem  21051  lgsqrlem2  21087  lgsquadlem1  21099  lgsquadlem2  21100  pntrsumbnd2  21222  eupap1  21659  xlt2addrd  24085  cvmliftlem6  24938  cvmliftlem8  24940  cvmliftlem9  24941  cvmliftlem10  24942  axlowdimlem16  25808  mettrifi  26361  irrapxlem1  26783  rmspecsqrnq  26867  acongeq  26946  stoweidlem11  27635  stoweidlem14  27638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258
  Copyright terms: Public domain W3C validator