MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Unicode version

Theorem ltmpi 8544
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi  |-  ( C  e.  N.  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 8531 . 2  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
2 ltrelpi 8529 . 2  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
3 0npi 8522 . 2  |-  -.  (/)  e.  N.
4 pinn 8518 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
5 pinn 8518 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
6 elni2 8517 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  N.  <->  ( C  e.  om  /\  (/)  e.  C
) )
7 iba 489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  <->  ( A  e.  B  /\  (/)  e.  C
) ) )
8 nnmord 6646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )
97, 8sylan9bbr 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
1093exp1 1167 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
1110imp4b 573 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( C  e. 
om  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
126, 11syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
134, 5, 12syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
1413imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
15 ltpiord 8527 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
17 mulclpi 8533 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  .N  A
)  e.  N. )
18 mulclpi 8533 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  .N  B
)  e.  N. )
19 ltpiord 8527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .N  A
)  e.  N.  /\  ( C  .N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B )  <->  ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B ) ) )
2017, 18, 19syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B ) ) )
21 mulpiord 8525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  .N  A
)  =  ( C  .o  A ) )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  .N  A )  =  ( C  .o  A ) )
23 mulpiord 8525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  .N  B
)  =  ( C  .o  B ) )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  .N  B )  =  ( C  .o  B ) )
2522, 24eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2620, 25bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2726anandis 803 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2827ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2914, 16, 283bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  .N  A
)  <N  ( C  .N  B ) ) )
30293impa 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )
311, 2, 3, 30ndmovord 6026 1  |-  ( C  e.  N.  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   omcom 4672  (class class class)co 5874    .o comu 6493   N.cnpi 8482    .N cmi 8484    <N clti 8485
This theorem is referenced by:  ltsonq  8609  lterpq  8610  ltanq  8611  ltmnq  8612  archnq  8620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-ni 8512  df-mi 8514  df-lti 8515
  Copyright terms: Public domain W3C validator