MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Unicode version

Theorem ltmpi 8783
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi  |-  ( C  e.  N.  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )

Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 8770 . 2  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
2 ltrelpi 8768 . 2  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
3 0npi 8761 . 2  |-  -.  (/)  e.  N.
4 pinn 8757 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
5 pinn 8757 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
6 elni2 8756 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  N.  <->  ( C  e.  om  /\  (/)  e.  C
) )
7 iba 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  <->  ( A  e.  B  /\  (/)  e.  C
) ) )
8 nnmord 6877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )
97, 8sylan9bbr 683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
1093exp1 1170 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
1110imp4b 575 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( C  e. 
om  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
126, 11syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
134, 5, 12syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
1413imp 420 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
15 ltpiord 8766 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
1615adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
17 mulclpi 8772 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  .N  A
)  e.  N. )
18 mulclpi 8772 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  .N  B
)  e.  N. )
19 ltpiord 8766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .N  A
)  e.  N.  /\  ( C  .N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B )  <->  ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B ) ) )
2017, 18, 19syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B ) ) )
21 mulpiord 8764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  .N  A
)  =  ( C  .o  A ) )
2221adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  .N  A )  =  ( C  .o  A ) )
23 mulpiord 8764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  .N  B
)  =  ( C  .o  B ) )
2423adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  .N  B )  =  ( C  .o  B ) )
2522, 24eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2620, 25bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2726anandis 805 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2827ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2914, 16, 283bitr4d 278 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  .N  A
)  <N  ( C  .N  B ) ) )
30293impa 1149 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )
311, 2, 3, 30ndmovord 6239 1  |-  ( C  e.  N.  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   omcom 4847  (class class class)co 6083    .o comu 6724   N.cnpi 8721    .N cmi 8723    <N clti 8724
This theorem is referenced by:  ltsonq  8848  lterpq  8849  ltanq  8850  ltmnq  8851  archnq  8859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-ni 8751  df-mi 8753  df-lti 8754
  Copyright terms: Public domain W3C validator