MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmulgt11 Structured version   Unicode version

Theorem ltmulgt11 9875
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmulgt11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem ltmulgt11
StepHypRef Expression
1 1re 9095 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2 ltmul2 9866 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B ) ) )
31, 2mp3an1 1267 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
433impb 1150 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
543com12 1158 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
6 ax-1rid 9065 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
763ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
87breq1d 4225 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
95, 8bitrd 246 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    < clt 9125
This theorem is referenced by:  ltmulgt12  9876  ltmulgt11d  10684  eflt  12723  nprm  13098  isprm5  13117  ltrmxnn0  27028  jm3.1lem2  27103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298  df-neg 9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator