MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltne Unicode version

Theorem ltne 8933
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltne  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem ltne
StepHypRef Expression
1 ltnr 8931 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
2 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( A  <  B  <->  A  <  A ) )
32notbid 285 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( -.  A  <  B  <->  -.  A  <  A ) )
41, 3syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  =  A  ->  -.  A  <  B ) )
54necon2ad 2507 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  B  ->  B  =/=  A ) )
65imp 418 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883
This theorem is referenced by:  ltneOLD  8934  gtneii  8946  gtned  8970  gt0ne0  9255  lt0ne0  9256  gt0ne0d  9353  staddi  22842  logbrec  23422  axlowdimlem13  24654  axlowdimlem16  24657  ftc1cnnc  25025  fdc  26558  fmul01lt1lem1  27817  stoweidlem7  27859  stoweid  27915  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924  wallispi2  27925  stirlinglem1  27926  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem8  27933  nvnencycllem  28389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator