MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneOLD Structured version   Unicode version

Theorem ltneOLD 9172
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltneOLD  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem ltneOLD
StepHypRef Expression
1 ltne 9171 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
213adant2 977 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   RRcr 8990    < clt 9121
This theorem is referenced by:  ltlen  9176  ltnei  9198  znnenlem  12812  coprm  13101  phibndlem  13160  sineq0  20430  stadd3i  23752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-ltxr 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator