MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Unicode version

Theorem ltned 9173
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltned  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
31, 2gtned 9172 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
43necomd 2658 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   RRcr 8953    < clt 9084
This theorem is referenced by:  seqf1olem1  11325  nprm  13056  4sqlem10  13278  4sqlem17  13292  pgpfaclem2  15603  dvferm2lem  19831  lhop2  19860  ftc1lem5  19885  deg1tmle  20001  plyeq0lem  20090  aaliou3lem7  20227  dvloglem  20500  isosctrlem1  20623  bndatandm  20730  vma1  20910  rplogsumlem2  21140  rpvmasumlem  21142  strlem6  23720  hstrlem6  23728  xrge0iifcnv  24280  erdszelem8  24845  axlowdimlem13  25805  axlowdimlem16  25808  dvreacos  26188  ivthALT  26236  stirlinglem7  27704  isosctrlem1ALT  28765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089
  Copyright terms: Public domain W3C validator