MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Unicode version

Theorem ltned 9102
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltned  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
31, 2gtned 9101 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
43necomd 2612 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1715    =/= wne 2529   class class class wbr 4125   RRcr 8883    < clt 9014
This theorem is referenced by:  seqf1olem1  11249  nprm  12980  4sqlem10  13202  4sqlem17  13216  pgpfaclem2  15527  mbfmulc2lem  19217  dvferm2lem  19548  lhop2  19577  ftc1lem5  19602  deg1tmle  19718  plyeq0lem  19807  aaliou3lem7  19944  argimlt0  20186  dvloglem  20217  isosctrlem1  20340  atantan  20441  bndatandm  20447  vma1  20627  rplogsumlem2  20857  rpvmasumlem  20859  strlem6  23149  hstrlem6  23157  bcm1n  23552  xrge0iifcnv  23674  erdszelem8  24332  axlowdimlem16  25327  dvreacos  25699  ivthALT  25765  wallispilem4  27323  wallispi  27325  stirlinglem5  27333  stirlinglem6  27334  stirlinglem7  27335  stirlinglem14  27342  stirlinglem15  27343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019
  Copyright terms: Public domain W3C validator