MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Structured version   Unicode version

Theorem ltned 9214
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltned.2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltned  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltned.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
31, 2gtned 9213 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
43necomd 2689 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   RRcr 8994    < clt 9125
This theorem is referenced by:  seqf1olem1  11367  nprm  13098  4sqlem10  13320  4sqlem17  13334  pgpfaclem2  15645  dvferm2lem  19875  lhop2  19904  ftc1lem5  19929  deg1tmle  20045  plyeq0lem  20134  aaliou3lem7  20271  dvloglem  20544  isosctrlem1  20667  bndatandm  20774  vma1  20954  rplogsumlem2  21184  rpvmasumlem  21186  strlem6  23764  hstrlem6  23772  xrge0iifcnv  24324  erdszelem8  24889  axlowdimlem13  25898  axlowdimlem16  25901  dvreacos  26305  ivthALT  26352  stirlinglem7  27819  nbhashuvtx1  28431  isosctrlem1ALT  29120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator