MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnegcon1 Structured version   Unicode version

Theorem ltnegcon1 9534
Description: Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltnegcon1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
B  <->  -u B  <  A
) )

Proof of Theorem ltnegcon1
StepHypRef Expression
1 renegcl 9369 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 ltneg 9533 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <  B  <->  -u B  <  -u -u A
) )
31, 2sylan 459 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
B  <->  -u B  <  -u -u A
) )
4 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
54recnd 9119 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
65negnegd 9407 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u -u A  =  A )
76breq2d 4227 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <  -u -u A  <->  -u B  < 
A ) )
83, 7bitrd 246 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
B  <->  -u B  <  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   RRcr 8994    < clt 9125   -ucneg 9297
This theorem is referenced by:  ltnegcon1i  9583  ltnegcon1d  9611  btwnz  10377  ceim1l  11239  abslt  12123  tanhbnd  12767  ismbf3d  19549  tanabsge  20419  tanord  20445  argimlt0  20513  logcnlem3  20540  logreclem  20665  atantan  20768  dya2ub  24625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator