MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnle Structured version   Unicode version

Theorem ltnle 9155
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltnle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem ltnle
StepHypRef Expression
1 lenlt 9154 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
21ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
32con2bid 320 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  letric  9174  ltnled  9220  leaddsub  9504  nn0n0n1ge2b  10281  znnnlt1  10308  uzwo  10539  uzwoOLD  10540  qsqueeze  10787  difreicc  11028  fzp1disj  11105  fzneuz  11128  fznuz  11129  uznfz  11130  discr1  11515  facdiv  11578  bcval5  11609  cnpart  12045  absmax  12133  rlimrege0  12373  znnenlem  12811  rpnnen2  12825  alzdvds  12899  algcvgblem  13068  pcprendvds  13214  pcdvdsb  13242  pcmpt  13261  prmunb  13282  prmreclem2  13285  prmlem1  13430  prmlem2  13442  lt6abl  15504  metdseq0  18884  xrhmeo  18971  ovolicc2lem3  19415  itg2seq  19634  dvne0  19895  coeeulem  20143  radcnvlt1  20334  argimgt0  20507  cxple2  20588  ressatans  20774  basellem2  20864  issqf  20919  bpos1  21067  bposlem3  21070  bposlem6  21073  pntpbnd2  21281  ostth2lem4  21330  eldmgm  24806  mulge0b  25191  ltflcei  26239  mblfinlem1  26243  mbfposadd  26254  itgaddnclem2  26264  ftc1anclem1  26280  ftc1anclem5  26284  stoweidlem14  27739  stoweidlem34  27759  ltnltne  28094  elfzonelfzo  28132  wrdsymb0  28170  ccatsymb  28179  swrdnd  28182  swrdvalodmlem1  28187  swrdvalodm2  28188  swrdccat3  28215  2cshw  28256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-cnv 4886  df-xr 9124  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator