MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnled Unicode version

Theorem ltnled 8966
Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltnled  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem ltnled
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltnle 8902 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  ltsub1  9270  ltsub2  9271  fzodisj  10900  sqrlem7  11734  sqrlt  11747  lo1bdd2  11998  isercoll  12141  fzm1ndvds  12580  fzo0dvdseq  12581  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  sadcaddlem  12648  smuval2  12673  bezoutlem3  12719  isprm5  12791  odzdvds  12860  pc2dvds  12931  pockthg  12953  prmreclem1  12963  prmreclem5  12967  1arith  12974  4sqlem11  13002  vdwlem6  13033  vdwlem11  13038  ramlb  13066  oddvds  14862  gexdvds  14895  sylow1lem3  14911  coe1tmmul2  16352  zlpirlem3  16443  iccntr  18326  icccmplem2  18328  reconnlem2  18332  evth  18457  lebnumlem3  18461  nmoleub2lem3  18596  minveclem3b  18792  minveclem4  18796  pmltpclem2  18809  ovolgelb  18839  ovolicc2lem2  18877  ovolicc2lem4  18879  mbfposr  19007  itg2const2  19096  itg2cnlem2  19117  itg2cn  19118  plyco0  19574  coeeulem  19606  dgradd2  19649  pilem3  19829  cxplt2  20045  fsumharmonic  20305  ftalem3  20312  ftalem5  20314  ftalem7  20316  ppiprm  20389  chtprm  20391  chpub  20459  perfectlem2  20469  bposlem1  20523  lgsdilem2  20570  lgsqrlem2  20581  lgsquadlem2  20594  2sqblem  20616  pntpbnd1  20735  pntlem3  20758  minvecolem4  21459  minvecolem5  21460  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemrv2  23080  lmdvg  23376  erdszelem8  23729  eupath2lem3  23903  dvreasin  24923  areacirclem5  24929  areacirclem6  24930  areacirc  24931  lvsovso2  25627  cntotbnd  26520  elpell1qr2  26957  pellfundglb  26970  pellfund14gap  26972  congabseq  27061  jm2.19  27086  jm2.26lem3  27094  dgraa0p  27354  stoweidlem59  27808  stirlinglem5  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-xr 8871  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator