MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnled Structured version   Unicode version

Theorem ltnled 9225
Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltnled  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem ltnled
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltnle 9160 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   RRcr 8994    < clt 9125    <_ cle 9126
This theorem is referenced by:  ltsub1  9529  ltsub2  9530  fzodisj  11172  elfznelfzob  11198  sqrlem7  12059  sqrlt  12072  lo1bdd2  12323  isercoll  12466  fzm1ndvds  12906  fzo0dvdseq  12907  bitsfzolem  12951  bitsfzo  12952  sadcaddlem  12974  smuval2  12999  bezoutlem3  13045  isprm5  13117  odzdvds  13186  pc2dvds  13257  pockthg  13279  prmreclem1  13289  prmreclem5  13293  1arith  13300  4sqlem11  13328  vdwlem6  13359  vdwlem11  13364  ramlb  13392  oddvds  15190  gexdvds  15223  sylow1lem3  15239  coe1tmmul2  16673  zlpirlem3  16775  iccntr  18857  icccmplem2  18859  reconnlem2  18863  evth  18989  lebnumlem3  18993  nmoleub2lem3  19128  minveclem3b  19334  minveclem4  19338  pmltpclem2  19351  ovolgelb  19381  ovolicc2lem2  19419  ovolicc2lem4  19421  mbfposr  19547  itg2const2  19636  itg2cnlem2  19657  itg2cn  19658  plyco0  20116  coeeulem  20148  dgradd2  20191  pilem3  20374  cxplt2  20594  fsumharmonic  20855  ftalem3  20862  ftalem5  20864  ftalem7  20866  ppiprm  20939  chtprm  20941  chpub  21009  perfectlem2  21019  bposlem1  21073  lgsdilem2  21120  lgsqrlem2  21131  lgsquadlem2  21144  2sqblem  21166  pntpbnd1  21285  pntlem3  21308  eupath2lem3  21706  minvecolem4  22387  minvecolem5  22388  lmdvg  24343  ballotlemfc0  24755  ballotlemfcc  24756  ballotlemrv2  24784  dmlogdmgm  24813  lgamgulmlem1  24818  lgamucov  24827  erdszelem8  24889  fzp1nel  25215  fprodntriv  25273  mblfinlem2  26256  itg2addnclem  26270  itg2addnclem2  26271  itg2addnclem3  26272  iblabsnclem  26282  ftc1anclem5  26298  dvreasin  26304  areacirclem4  26309  areacirclem5  26310  areacirc  26311  cntotbnd  26519  elpell1qr2  26949  pellfundglb  26962  pellfund14gap  26964  congabseq  27053  jm2.19  27078  jm2.26lem3  27086  dgraa0p  27345  stoweidlem26  27765  stoweidlem34  27773  stoweidlem59  27798  stirlinglem5  27817  0mnnnnn0  28118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-xp 4887  df-cnv 4889  df-xr 9129  df-le 9131
  Copyright terms: Public domain W3C validator