MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnlei Structured version   Unicode version

Theorem ltnlei 9225
Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltnlei  |-  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )

Proof of Theorem ltnlei
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
2 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
31, 2lenlti 9224 . 2  |-  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B )
43con2bii 324 1  |-  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   RRcr 9020    < clt 9151    <_ cle 9152
This theorem is referenced by:  letrii  9229  hashnn0n0nn  11695  divalglem5  12948  divalglem6  12949  bitsfzolem  12977  bitsfzo  12978  bitsinv1lem  12984  sadcadd  13001  strlemor1  13587  htpycc  19036  pco1  19071  pcohtpylem  19075  pcopt  19078  pcopt2  19079  pcoass  19080  pcorevlem  19082  vitalilem5  19535  vieta1lem2  20259  ppiltx  20991  ppiublem1  21017  chtub  21027  spthispth  21604  rnlogblem  24430  ballotlem2  24777  subfacp1lem1  24896  subfacp1lem5  24901  axlowdimlem16  25927  axlowdim  25931  fdc  26487  pellexlem6  26935  jm2.23  27105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-br 4238  df-opab 4292  df-xp 4913  df-cnv 4915  df-xr 9155  df-le 9157
  Copyright terms: Public domain W3C validator