MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnsymd Unicode version

Theorem ltnsymd 9147
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltled.1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltnsymd  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)

Proof of Theorem ltnsymd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltled.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
41, 2, 3ltled 9146 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
51, 2lenltd 9144 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
64, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   RRcr 8915    < clt 9046    <_ cle 9047
This theorem is referenced by:  bposlem9  20936  ostth2lem1  21172  rpnnen3lem  26786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052
  Copyright terms: Public domain W3C validator