MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 9933
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 9840 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112
This theorem is referenced by:  zltp1le  10317  rpnnen1lem5  10596  seqf1olem1  11354  seqf1olem2  11355  bernneq3  11499  expmulnbnd  11503  discr1  11507  discr  11508  bcp1nk  11600  bcpasc  11604  hashfun  11692  seqcoll  11704  seqcoll2  11705  o1rlimmul  12404  fsum1p  12531  climcndslem2  12622  mertenslem1  12653  sqr2irr  12840  iserodd  13201  prmreclem4  13279  prmreclem5  13280  4sqlem11  13315  vdwlem6  13346  vdwlem11  13351  vdwlem12  13352  sylow1lem1  15224  efgsfo  15363  efgred  15372  icopnfcnv  18959  cnheibor  18972  pjthlem1  19330  ovolicopnf  19412  uniioombllem3  19469  dvfsumrlim  19907  plyco0  20103  vieta1lem2  20220  mtest  20312  itgulm  20316  psercnlem1  20333  psercn  20334  abelthlem2  20340  abelthlem7  20346  logcnlem4  20528  atanlogsublem  20747  birthdaylem2  20783  efrlim  20800  fsumharmonic  20842  ftalem5  20851  basellem1  20855  basellem3  20857  ppiprm  20926  chtprm  20928  chtdif  20933  ppidif  20938  chtub  20988  perfectlem2  21006  lgsquadlem2  21131  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem3  21205  pntrlog2bndlem6  21269  pntpbnd1  21272  pntpbnd2  21273  pntlemc  21281  pntlemf  21291  ostth2lem1  21304  ostth2lem3  21321  eupap1  21690  eupath2lem3  21693  smcnlem  22185  pjhthlem1  22885  esumpmono  24461  ballotlemfc0  24742  ballotlemfcc  24743  subfaclim  24866  erdsze2lem2  24882  cvmliftlem7  24970  cvmliftlem10  24973  fznatpl1  25190  fprodntriv  25260  fprod1p  25283  fprodeq0  25291  binomfallfaclem2  25348  fallfacval4  25351  axlowdimlem16  25888  mblfinlem  26234  itg2addnclem2  26247  isbnd3  26484  eldioph2lem1  26809  pell14qrgapw  26930  rmygeid  27020  wallispilem5  27785  stirlinglem1  27790  stirlinglem3  27792  stirlinglem5  27794  stirlinglem6  27795  stirlinglem7  27796  stirlinglem10  27799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator