MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Unicode version

Theorem ltp1d 9687
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 9594 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867
This theorem is referenced by:  zltp1le  10067  rpnnen1lem5  10346  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  bernneq3  11229  expmulnbnd  11233  discr1  11237  discr  11238  bcp1nk  11329  bcpasc  11333  hashfun  11389  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  o1rlimmul  12092  fsum1p  12218  climcndslem2  12309  mertenslem1  12340  sqr2irr  12527  iserodd  12888  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  4sqlem11  13002  vdwlem6  13033  vdwlem11  13038  vdwlem12  13039  sylow1lem1  14909  efgsfo  15048  efgred  15057  icopnfcnv  18440  cnheibor  18453  pjthlem1  18801  ovolicopnf  18883  uniioombllem3  18940  dvfsumrlim  19378  plyco0  19574  vieta1lem2  19691  mtest  19781  itgulm  19784  psercnlem1  19801  psercn  19802  abelthlem2  19808  abelthlem7  19814  logcnlem4  19992  atanlogsublem  20211  birthdaylem2  20247  efrlim  20264  fsumharmonic  20305  ftalem5  20314  basellem1  20318  basellem3  20320  ppiprm  20389  chtprm  20391  chtdif  20396  ppidif  20401  chtub  20451  perfectlem2  20469  lgsquadlem2  20594  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem3  20668  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemc  20744  pntlemf  20754  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  smcnlem  21270  pjhthlem1  21970  esumpmono  23447  subfaclim  23719  erdsze2lem2  23735  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem10  23825  eupap1  23900  eupath2lem3  23903  fznatpl1  24093  axlowdimlem16  24585  clscnc  26010  isbnd3  26508  eldioph2lem1  26839  pell14qrgapw  26961  rmygeid  27051  wallispilem5  27818  stirlinglem1  27823  stirlinglem3  27825  stirlinglem5  27827  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator