Theorem ltpiord 5015

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership.

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2622	. . 3 |- (x = A -> (x <N y <-> A <N y))
2		eleq1 1534	. . 3 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
3	1, 2	bibi12d 629	. 2 |- (x = A -> ((x <N y <-> x e. y) <-> (A <N y <-> A e. y)))
4		breq2 2623	. . 3 |- (y = B -> (A <N y <-> A <N B))
5		eleq2 1535	. . 3 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6	4, 5	bibi12d 629	. 2 |- (y = B -> ((A <N y <-> A e. y) <-> (A <N B <-> A e. B)))
7		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
8	7	opelxp 3214	. . 3 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) <-> (x e. N. /\ y e. N.))
9		iba 642	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (<.x, y>. e. E <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.))))
10		df-br 2620	. . . . . 6 |- (xEy <-> <.x, y>. e. E)
11		epel 2834	. . . . . 6 |- (xEy <-> x e. y)
12	10, 11	bitr3 175	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. E <-> x e. y)
13	9, 12	syl5bbr 534	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (x e. y <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.))))
14		df-br 2620	. . . . 5 |- (x <N y <-> <.x, y>. e. <N )
15		df-lti 5003	. . . . . 6 |- <N = (E i^i (N. X. N.))
16	15	eleq2i 1538	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. <N <-> <.x, y>. e. (E i^i (N. X. N.)))
17		elin 2207	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (E i^i (N. X. N.)) <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.)))
18	14, 16, 17	3bitr 177	. . . 4 |- (x <N y <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.)))
19	13, 18	syl6rbbr 539	. . 3 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (x <N y <-> x e. y))
20	8, 19	sylbir 201	. 2 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> (x <N y <-> x e. y))
21	3, 6, 20	vtocl2ga 1853	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Ecep 2830   X. cxp 3168  N.cnpi 4972   <N clti 4975

This theorem is referenced by:  ltsopi 5016  ltexpi 5029  ltapi 5030  ltmpi 5031  1lt2pi 5032  nlt1pi 5033  indpi 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-eprel 2832  df-xp 3184  df-lti 5003

Copyright terms: Public domain