Theorem ltresr 5270

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals.

Hypotheses

Ref	Expression
ltresr.1	|- A e. V
ltresr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltresr	|- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> A <R B)

Proof of Theorem ltresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2788	. . . 4 |- <.B, 0R>. e. V
2		ltrelre 5264	. . . 4 |- <R (_ (RR X. RR)
3	1, 2	brel 3229	. . 3 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. -> (<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR))
4		opelreal 5261	. . . 4 |- (<.A, 0R>. e. RR <-> A e. R.)
5		opelreal 5261	. . . 4 |- (<.B, 0R>. e. RR <-> B e. R.)
6	4, 5	anbi12i 484	. . 3 |- ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) <-> (A e. R. /\ B e. R.))
7	3, 6	sylib 198	. 2 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. -> (A e. R. /\ B e. R.))
8		ltresr.2	. . 3 |- B e. V
9		ltrelsr 5192	. . 3 |- <R (_ (R. X. R.)
10	8, 9	brel 3229	. 2 |- (A <R B -> (A e. R. /\ B e. R.))
11		opex 2788	. . . . . . 7 |- <.A, 0R>. e. V
12		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (x = <.A, 0R>. -> (x e. RR <-> <.A, 0R>. e. RR))
13	12	anbi1d 619	. . . . . . . 8 |- (x = <.A, 0R>. -> ((x e. RR /\ y e. RR) <-> (<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR)))
14		eqeq1 1484	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.A, 0R>. -> (x = <.z, 0R>. <-> <.A, 0R>. = <.z, 0R>.))
15	14	anbi1d 619	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.A, 0R>. -> ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) <-> (<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.)))
16	15	anbi1d 619	. . . . . . . . 9 |- (x = <.A, 0R>. -> (((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
17	16	2exbidv 1283	. . . . . . . 8 |- (x = <.A, 0R>. -> (E.zE.w((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
18	13, 17	anbi12d 630	. . . . . . 7 |- (x = <.A, 0R>. -> (((x e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)) <-> ((<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w))))
19		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (y = <.B, 0R>. -> (y e. RR <-> <.B, 0R>. e. RR))
20	19	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (y = <.B, 0R>. -> ((<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR) <-> (<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR)))
21		eqeq1 1484	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.B, 0R>. -> (y = <.w, 0R>. <-> <.B, 0R>. = <.w, 0R>.))
22	21	anbi2d 618	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.B, 0R>. -> ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) <-> (<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.)))
23	22	anbi1d 619	. . . . . . . . 9 |- (y = <.B, 0R>. -> (((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
24	23	2exbidv 1283	. . . . . . . 8 |- (y = <.B, 0R>. -> (E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
25	20, 24	anbi12d 630	. . . . . . 7 |- (y = <.B, 0R>. -> (((<.A, 0R>. e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w)) <-> ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w))))
26		df-lt 5259	. . . . . . 7 |- <R = {<.x, y>. | ((x e. RR /\ y e. RR) /\ E.zE.w((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) /\ z <R w))}
27	11, 1, 18, 25, 26	brab 2827	. . . . . 6 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) /\ E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
28	27	baib 687	. . . . 5 |- ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w)))
29		ltresr.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
30	29	eqresr 5267	. . . . . . . . 9 |- (<.A, 0R>. = <.z, 0R>. <-> A = z)
31	8	eqresr 5267	. . . . . . . . 9 |- (<.B, 0R>. = <.w, 0R>. <-> B = w)
32	30, 31	anbi12i 484	. . . . . . . 8 |- ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) <-> (A = z /\ B = w))
33		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- w e. V
34	29, 8, 33	opth 2793	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. = <.z, w>. <-> (A = z /\ B = w))
35	32, 34	bitr4 176	. . . . . . 7 |- ((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) <-> <.A, B>. = <.z, w>.)
36	35	anbi1i 483	. . . . . 6 |- (((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> (<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w))
37	36	2exbii 1054	. . . . 5 |- (E.zE.w((<.A, 0R>. = <.z, 0R>. /\ <.B, 0R>. = <.w, 0R>.) /\ z <R w) <-> E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w))
38	28, 37	syl6bb 538	. . . 4 |- ((<.A, 0R>. e. RR /\ <.B, 0R>. e. RR) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w)))
39	38, 4, 5	syl2anbr 458	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w)))
40		breq12 2629	. . . 4 |- ((z = A /\ w = B) -> (z <R w <-> A <R B))
41	40	copsex2g 2799	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (E.zE.w(<.A, B>. = <.z, w>. /\ z <R w) <-> A <R B))
42	39, 41	bitrd 530	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> A <R B))
43	7, 10, 42	pm5.21nii 681	1 |- (<.A, 0R>. <R <.B, 0R>. <-> A <R B)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  R.cnr 5005  0Rc0r 5006   <R cltr 5011  RRcr 5245   <R cltrr 5250

This theorem is referenced by:  supre 5272  ltsor 5273  pre-axltadd 5301  pre-axmulgt0 5302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-r 5256  df-lt 5259

Copyright terms: Public domain